14910. В основании параллелепипеда лежит параллелограмм ABCD
, в котором острый угол A
равен 60^{\circ}
, а стороны AB
и BC
— a
и 2a
соответственно. Боковые ребра AA'
, BB'
, CC'
, DD'
параллелепипеда перпендикулярны плоскости основания и равны a
. Через вершины A
, B'
и D'
проведена плоскость. Найдите расстояние от вершины C
до этой плоскости.
Ответ. a\sqrt{2}
.
Решение. Пусть O
— центр параллелограмма ABCD
, т. е. середина наклонной CA
к плоскости AB'D'
. Значит, искомое расстояние d
от точки C
до плоскости AB'D'
вдвое больше расстояния от точки O
до этой плоскости (см. задачу 9180). Поскольку точка O
лежит на прямой BD
, параллельной B'D'
, а значит, и плоскости AB'D'
, то расстояние от точки O
до плоскости AB'D'
равно расстоянию до этой плоскости от любой точки прямой BD
, в частности, от точки B
.
Заметим, что треугольник ABD
прямоугольный с прямым углом при вершине B
(см. задачу 2643). Проведём высоту BH
прямоугольного треугольника ABB'
. Прямая BH
перпендикулярна пересекающимся прямым AB'
и B'D'
плоскости AB'D'
, так как BD
(а значит, и B'D'
) — перпендикуляр к этой плоскости. Значит, BH
— перпендикуляр к плоскости AB'D'
. Тогда расстояние от точки B
до плоскости AB'D'
равно BH
. Из равнобедренного прямоугольного треугольника ABB'
находим, что BH=\frac{a\sqrt{2}}{2}
. Следовательно,
d=2BH=a\sqrt{2}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1977, задача 5, вариант 3
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1977, с. 121, задача 5, вариант 3