14927. В основании пирамиды SABCD
лежит прямоугольник ABCD
со сторонами AB=3
, BC=4
. Боковые рёбра пирамиды равны, а её высота равна \frac{12}{5}
. Плоскость \alpha
проходит через прямую SA
параллельно диагонали BD
основания. Найдите расстояние от вершины C
до плоскости \alpha
.
Ответ. \frac{1}{\sqrt{2}}
.
Решение. Поскольку боковые рёбра пирамиды равны, её высота проходит через точку O
пересечения диагоналей прямоугольника ABCD
.
Плоскость ABCD
проходит через прямую BD
, параллельную плоскости \alpha
, и имеет с этой плоскостью общую точку A
, поэтому эти плоскости пересекаются по прямой l
, проходящей через точку A
, параллельно прямой BD
. Пусть прямая l
пересекает продолжения рёбер BC
и CD
в точках P
и Q
соответственно. Тогда APBD
и ABDQ
— параллелограммы, поэтому
CP=CB+BP=CB+AD=8,~CQ=QD+CD=AB+CD=6.
Через точку C
проведём прямую m
, перпендикулярную высоте SO
данной пирамиды. Тогда m\perp SO
. Пусть прямая m
пересекает продолжение ребра SA
в точке E
. Тогда SO
— средняя линия прямоугольного треугольника OCE
, поэтому EC=2SO=\frac{24}{5}
.
Введём прямоугольную систему координат Cxyz
с началом в точке C
, направив ось Cx
по лучу CD
, ось Oy
— по лучу CB
, а ось Cz
— по лучу CE
. Тогда плоскость \alpha
пересекает оси Ox
, Oy
и Oz
в точках Q(6;0;0)
, P(0;8;0)
и E\left(0;0;\frac{24}{5}\right)
. Значит, уравнение этой плоскости имеет вид (см. задачу 7564)
\frac{x}{6}+\frac{y}{8}+\frac{z}{\frac{24}{5}}=1,~\mbox{или}~4x+3y+5z-24=0.
Тогда расстояние d
от точки C(0;0;0)
до плоскости \alpha
равно
d=\frac{|4\cdot0+4\cdot0+z\cdot0-24|}{\sqrt{3^{2}+4^{2}+5^{2}}}=\frac{24}{\sqrt{50}}=\frac{12\sqrt{2}}{5}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1982, задача 5, вариант 3
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1982 с. 134, задача 5, вариант 3