14944. В правильном тетраэдре SABC
плоскость \alpha
проходит через вершины S
, C
и середину M
ребра AB
; плоскость \beta
проходит через вершину B
и середины K
и L
рёбер SA
и SC
соответственно. Плоскости \alpha
и \beta
пересекаются по прямой l
. Найдите угол между прямой l
и плоскостью грани ABC
.
Ответ. \arctg\frac{\sqrt{2}}{5}
.
Решение. Пусть P
— точка пересечения медиан SM
и BK
грани ASB
. Каждая из точек P
и L
лежит в плоскостях \alpha
и \beta
, поэтому обе они лежат на прямой l
пересечения этих плоскостей. Пусть N
— точка пересечения прямых AL
и CM
, лежащих в плоскости \alpha
. По теореме Менелая для треугольника CSM
и прямой NL
получаем
1=\frac{SL}{LC}\cdot\frac{CN}{NM}\cdot\frac{MP}{PS}=\frac{1}{1}\cdot\frac{CN}{NM}\cdot\frac{1}{2}=\frac{CN}{2NM}~\Rightarrow~CN=2NM~\Rightarrow~NM=CM.
Пусть CH
— высота тетраэдра SABC
, F
— ортогональная проекция точки L
на плоскость ABC
. Тогда точка F
лежит на прямой CM
, причём F
— середина CH
. Обозначим через a
ребро данного правильного тетраэдра. Тогда
NF=NM+MF=CM+\frac{2}{3}CM=\frac{a\sqrt{3}}{2}+\frac{a\sqrt{3}}{3}=\frac{5a\sqrt{3}}{6},
LF=\frac{1}{2}SH=\frac{1}{2}\cdot a\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{a\sqrt{6}}{6}
(см. задачу 7040).
Искомый угол прямой l
с плоскостью ABC
— это угол FNL
. Из прямоугольного треугольника LFN
находим, что
\tg\angle FNS=\frac{LF}{NF}=\frac{\frac{a\sqrt{6}}{6}}{\frac{5a\sqrt{3}}{6}}=\frac{\sqrt{2}}{5}.
Следовательно,
\angle FNS=\arctg\frac{\sqrt{2}}{5}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1986, задача 5, вариант 2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1986 с. 143, задача 5, вариант 2