1495. Докажите, что если сумма квадратов сторон выпуклого четырёхугольника равна сумме квадратов его диагоналей, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
Решение. Пусть K
и L
— середины диагоналей соответственно AC
и BD
выпуклого четырёхугольника ABCD
, для которого AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+AD^{2}=AC^{2}+BD^{2}
.
Отрезки KL
, KB
и KD
— медианы треугольников BKD
, ABC
и ADC
соответственно, поэтому (см. задачу 4014)
KB^{2}=\frac{1}{4}(2AB^{2}+2BC^{2}-AC^{2}),~KD^{2}=\frac{1}{4}(2CD^{2}+2AD^{2}-AC^{2}),
KL^{2}=\frac{1}{4}(2KB^{2}+2KL^{2}-BD^{2})=
=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2}(2AB^{2}+2BC^{2}-AC^{2})+\frac{1}{2}(2CD^{2}+2AD^{2}-AC^{2})-BD^{2}\right)=
=\frac{1}{4}\left(AB^{2}+BC^{2}-\frac{1}{2}AC^{2}+CD^{2}+AD^{2}-\frac{1}{2}AC^{2}-BD^{2}\right)=
=\frac{1}{4}\left(AB^{2}+BC^{2}-AC^{2}+CD^{2}+AD^{2}-AC^{2}-BD^{2}\right)=
=\frac{1}{4}(AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+AD^{2}-AC^{2}-BD^{2})=0.
Значит, точки K
и L
совпадают, т. е. диагонали четырёхугольника делятся точкой пересечения пополам. Следовательно, этот четырёхугольник — параллелограмм.