14954. Прямоугольный треугольник ABC
с катетами AB=3
, AC=4
лежит в основании треугольной пирамиды SABC
, боковые рёбра которой равны 5. На луче AC
выбраны точки M
и N
, причём AM=1
, AN=6
; на луче BS
выбраны точки P
и Q
, причём что BP=1
, BQ=3
. Найдите объём пирамиды MNPQ
.
Ответ. \frac{5\sqrt{3}}{2}
.
Решение. Пусть SM
— высота пирамиды SABC
, V
— объём пирамиды SABC
, а V_{1}
— искомый объём пирамиды MNPQ
.
Боковые рёбра пирамиды равны, поэтому точка M
— середина гипотенузы BC=5
прямоугольного треугольника ABC
. В то же время SM
— высота равностороннего треугольника BSC
со стороной 5, поэтому SM=\frac{5\sqrt{3}}{2}
. Значит,
V=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot SM=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot SM=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot3\cdot4\cdot\frac{5\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}.
Поскольку \frac{PQ}{SB}=\frac{2}{5}
и \frac{MN}{AC}=\frac{5}{4}
, то (см. примечание к задаче 7234)
V_{1}=\frac{PQ}{SB}\cdot\frac{MN}{AC}V=\frac{2}{5}\cdot\frac{5}{4}\cdot5\sqrt{3}=\frac{5\sqrt{3}}{2}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1988, задача 5, вариант 2.1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1988 с. 149, задача 5, вариант 2.1