7234. На скрещивающихся прямых
l
и
m
взяты отрезки
AB
и
CD
соответственно. Докажите, что объём пирамиды
ABCD
не зависит от положения отрезков
AB
и
CD
на этих прямых. Найдите этот объём, если
AB=a
,
CD=b
, а угол и расстояние между прямыми
l
и
m
равны соответственно
\alpha
и
c
.
Ответ.
\frac{1}{6}abc\sin\alpha
.
Указание. Достройте тетраэдр
ABCD
до параллелепипеда, проведя через его противоположные рёбра
AB
и
CD
,
AD
и
BC
,
AC
и
BD
пары параллельных плоскостей.
Решение. Достроим тетраэдр
ABCD
до параллелепипеда, проведя через его противоположные рёбра
AB
и
CD
,
AD
и
BC
,
AC
и
BD
пары параллельных плоскостей. Высота параллелепипеда равна расстоянию между параллельными плоскостями, одна из которых содержит прямую
AB
, а вторая — прямую
CD
, т. е. равна расстоянию
c
между скрещивающимися прямыми
l
и
m
. Диагонали грани параллелепипеда, содержащей ребро
AB
тетраэдра
ABCD
, равны
a
и
b
, а угол между ними равен углу между прямыми
l
и
m
, т. е.
\alpha
. Тогда площадь этой грани равна
\frac{1}{2}ab\sin\alpha
, а объём
V_{1}
параллелепипеда равен произведению площади этой грани на высоту, т. е.
V_{1}=\frac{1}{2}abc\sin\alpha
. Объём
V
тетраэдра
ABCD
равен трети объёма параллелепипеда (см. задачу 9265), следовательно,
V=\frac{1}{3}V_{1}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}abc\sin\alpha=\frac{1}{6}abc\sin\alpha.

Источник: Московская математическая олимпиада. — 1937, III, 1-й тур
Источник: Гальперин Г. А., Толпыго А. К. Московские математические олимпиады. — М.: Просвещение, 1988. — № 3, с. 22
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1955, билет 3, № 3
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 55-3-3, с. 50
Источник: Моденов П. С. Пособие по математике. — Ч. II. — М.: Изд-во МГУ, 1972. — с. 239, № 1
Источник: Готман Э. Г., Скопец З. А. Решение геометрических задач аналитическим методом: Пособие для учащихся 9—10 кл. — М.: Просвещение, 1979. — № 274, с. 43
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия. Стереометрия: Задачник для 10—11 кл. — М.: Дрофа, 1998. — № 29, с. 7
Источник: Прасолов В. В., Шарыгин И. Ф. Задачи по стереометрии. — М.: Наука, 1989. — № 3.4, с. 45
Источник: Прасолов В. В. Задачи по стереометрии. — 2-е изд. — М.: МЦНМО, 2016. — № 3.15, с. 36
Источник: Калинин А. Ю., Терёшин Д. А. Геометрия. 10—11 классы. — М.: МЦНМО, 2011. — с. 291
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 2: Стереометрия. — М.: МЦНМО, 2006. — с. 98