9265. Объём параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
равен V
. Докажите, что:
а) объём пирамиды ACB_{1}D_{1}
равен \frac{1}{3}V
;
б) объём общей части пирамид ACB_{1}D_{1}
и BDA_{1}C_{1}
равен \frac{1}{6}V
.
Решение. а) Пусть площадь основания ABCD
равна S
, а высота параллелепипеда, опущенная на плоскость ABCD
, равна h
. Тогда
V_{B_{1}ABC}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}S\cdot h=\frac{1}{6}S\cdot h=\frac{1}{6}V.
Аналогично
V_{CB_{1}D_{1}C_{1}}=V_{AA_{1}B_{1}D_{1}}=V_{D_{1}ACD}=\frac{1}{6}V.
Следовательно,
V_{ACB_{1}D_{1}}=V-V_{B_{1}ABC}-V_{CB_{1}D_{1}C_{1}}-V_{AA_{1}B_{1}D_{1}}-V_{D_{1}ACD}=
=V-4\cdot\frac{1}{6}V=V-\frac{2}{3}V=\frac{1}{3}V.
б) Пусть O
, O_{1}
, E
, E_{1}
, F
, F_{1}
— центры граней соответственно ABCD
, A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, BB_{1}C_{1}C
, AA_{1}D_{1}D
, AA_{1}B_{1}B
, CC_{1}D_{1}D
. Тогда объём V_{1}
общей части пирамид ACB_{1}D_{1}
и BDA_{1}C_{1}
равен сумме объёмов двух четырёхугольных пирамид с общим основанием EFE_{1}F_{1}
и вершинами O
и O_{1}
. Площадь параллелограмма EFE_{1}F_{1}
равна \frac{1}{2}S
(см. задачу 1204), а высота каждой из четырёхугольных пирамид равна \frac{h}{2}
. Следовательно,
V_{1}=2\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}S\cdot\frac{1}{2}h=\frac{1}{6}S\cdot h=\frac{1}{6}V.