14956. В основании треугольной призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
лежит правильный треугольник ABC
со стороной 3, боковые ребра равны 4 и образуют угол в 60^{\circ}
с плоскостью основания. На луче BC
выбраны точки M
и N
, причём BM=2
, BN=7
; на луче AA_{1}
выбраны точки P
и Q
, причём AP=2
, AQ=5
. Найдите объём пирамиды MNPQ
.
Ответ. \frac{45}{8}
.
Решение. Пусть A_{1}H
— высота призмы. Тогда \angle HAA_{1}=60^{\circ}
. Из прямоугольного треугольника AHA_{1}
находим, что
A_{1}H=AA_{1}\sin60^{\circ}=4\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}.
Обозначим через V
и V_{1}
— объёмы треугольных пирамид A_{1}ABC
и MNPQ
соответственно. Тогда
V=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot A_{1}H=\frac{1}{3}\cdot\frac{3^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot2\sqrt{3}=\frac{9}{2}.
Из условия задачи следует, что
MN=BN-BM=7-2=5,~PQ=AQ-AP=5-2=3.
Значит (см. примечание к задаче 7234),
V_{1}=\frac{MN}{BC}\cdot\frac{PQ}{AA_{1}}V=\frac{5}{3}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{9}{2}=\frac{45}{8}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1988, задача 5, вариант 2.3
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1988 с. 151, задача 5, вариант 2.3