1496. Теорема Эйлера о четырёхугольнике. Докажите, что сумма квадратов сторон четырёхугольника больше суммы квадратов его диагоналей на учетверённый квадрат отрезка, соединяющего середины диагоналей.
Решение. Пусть K
и L
— середины диагоналей соответственно AC
и BD
четырёхугольника ABCD
.
Отрезки KL
, KB
и KD
— медианы треугольников BKD
, ABC
и ADC
соответственно, поэтому (см. задачу 4014)
KB^{2}=\frac{1}{4}(2AB^{2}+2BC^{2}-AC^{2}),~KD^{2}=\frac{1}{4}(2CD^{2}+2AD^{2}-AC^{2}),
KL^{2}=\frac{1}{4}(2KB^{2}+2KL^{2}-BD^{2})=
=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2}(2AB^{2}+2BC^{2}-AC^{2})+\frac{1}{2}(2CD^{2}+2AD^{2}-AC^{2})-BD^{2}\right)=
=\frac{1}{4}\left(AB^{2}+BC^{2}-\frac{1}{2}AC^{2}+CD^{2}+AD^{2}-\frac{1}{2}AC^{2}-BD^{2}\right)=
=\frac{1}{4}\left(AB^{2}+BC^{2}-AC^{2}+CD^{2}+AD^{2}-AC^{2}-BD^{2}\right)=
=\frac{1}{4}(AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+AD^{2}-AC^{2}-BD^{2}).
Следовательно,
AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+AD^{2}=AC^{2}+BD^{2}+4KL^{2}.
Примечание. Следствие. Четырёхугольник на плоскости является параллелограммом тогда и только тогда, когда сумма квадратов всех его сторон равна сумме квадратов диагоналей.
Источник: Адамар Ж. Элементарная геометрия. — Ч. 1: Планиметрия. — М.: Учпедгиз, 1948. — № 139, с. 127
Источник: Ефремовъ Д. Д. Новая геометрiя треугольника. — Одесса, 1902. — № 8, с. 23
Источник: Пржевальский Е. Собрание геометрических теорем и задач. — М.: Типография Г. Лисснера и Д. Собко, 1909. — № 110, с. 83
Источник: Моденов П. С. Сборник задач по специальному курсу элементарной математики. — М.: Советская наука, 1957. — № 25, с. 197
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — с. 82
Источник: Готман Э. Г., Скопец З. А. Решение геометрических задач аналитическим методом: Пособие для учащихся 9—10 кл. — М.: Просвещение, 1979. — № 247, с. 39