14966. В основании правильной четырёхугольной пирамиды SABCD
лежит квадрат ABCD
со стороной 6. Точка P
— середина ребра SB
. Найдите объём пирамиды, если известно, что прямые AP
и SC
перпендикулярны.
Ответ. 72.
Решение. Обозначим боковое ребро данной пирамиды через x
. Пусть M
— середина ребра BC
. Тогда MP
— средняя линия треугольника CBS
, поэтому MP=\frac{x}{2}
и MP\parallel SC
. Тогда угол между скрещивающимися прямыми AP
и SC
равен углу между пересекающимися прямыми MP
и AP
, т. е. \angle APM=90^{\circ}
.
Из прямоугольных треугольников ABM
и APM
получаем
AM^{2}=AB^{2}+BM^{2}=6^{2}+3^{2}=45,~AP^{2}=AM^{2}-PM^{2}=45-\frac{x^{2}}{4}.
Поскольку AP
— медиана треугольника ABS
со сторонами SA=SB=x
и AB=6
, получаем (см. задачу 4014)
4AP^{2}=2AB^{2}+2SA^{2}-SB^{2},~\mbox{или}~4\left(45-\frac{x^{2}}{4}\right)=2x^{2}+2\cdot36-x^{2}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~180-x^{2}=x^{2}+72~\Leftrightarrow~x^{2}=54.
Пусть O
— центр квадрата ABCD
. Тогда OA=3\sqrt{2}
, а SO
— высота пирамиды. Из прямоугольного треугольника AOS
находим, что
SO=\sqrt{SA^{2}-OA^{2}}=\sqrt{54-18}=6.
Следовательно, объём пирамиды SABCD
равен
\frac{1}{3}AB^{2}\cdot SO=\frac{1}{3}\cdot36\cdot6=72.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1991, задача 5, вариант 1
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический и экономический факультеты НГУ. — 1991, задача 5, вариант 3
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1991 с. 156, задача 5, вариант 1