14968. В основании правильной треугольной пирамиды SABC
лежит равносторонний треугольник ABC
со стороной 2. Точки P
и Q
— середины рёбер SA
и SB
. Найдите объём пирамиды, если известно, что прямые CP
и AQ
перпендикулярны
Ответ. \frac{\sqrt{14}}{3}
.
Решение. На продолжении ребра AB
за точку A
отложим отрезок PQ
. Тогда AMPQ
— параллелограмм, MP=CQ
и MP\parallel AQ
. Значит, угол между скрещивающимися прямыми CP
и AQ
равен углу между пересекающимися прямыми MP
и CP
, т. е. \angle CPM=90^{\circ}
, а так как CP=AQ=MP
, то треугольник CPM
равнобедренный и прямоугольный.
Обозначим через x
боковое ребро пирамиды. По формуле для для квадрата медианы треугольника (см. задачу 4014) получаем
PQ^{2}=\frac{1}{4}(2AC^{2}+2AB^{2}-BC^{2})=\frac{1}{4}(2x^{2}+2\cdot2^{2}-x^{2})=\frac{1}{4}(x^{2}+8).
По теореме косинусов из треугольника CAM
со сторонами AM=PQ=1
, AC=2
и углом 120^{\circ}
между ними находим
CM^{2}=1+4+2=7.
Поскольку CM
— медиана равнобедренного прямоугольного треугольника с катетами
CP=MP=\frac{1}{2}\sqrt{x^{2}+8},
то
CM^{2}=2CP^{2}=\frac{x^{2}}{2}+4,~\mbox{или}~7=\frac{x^{2}}{2}+4~\Leftrightarrow~x^{2}=6.
Пусть H
— центр равностороннего треугольника ABC
. Тогда SH
— высота пирамиды. По теореме Пифагора
SH=\sqrt{AS^{2}-AH^{2}}=\sqrt{x^{2}-\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)^{2}}=\sqrt{x^{2}-\frac{4}{3}}=\sqrt{6-\frac{4}{3}}=\sqrt{\frac{14}{3}}.
Следовательно, объём пирамиды равен
\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot SH=\frac{1}{3}\cdot\frac{2^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot\sqrt{\frac{14}{3}}=\frac{\sqrt{14}}{3}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1991, задача 5, вариант 3
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический и экономический факультеты НГУ. — 1991, задача 5, вариант 1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1991 с. 157, задача 5, вариант 3