14974. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA'B'C'D'
рёбра AB=5
, AD=10
, AA'=2\sqrt{5}
. Найдите ортогональную проекцию отрезка A'B'
на плоскость BMD
, где M
— середина ребра B'C'
.
Ответ. 3.
Решение. Ортогональная проекция отрезка на плоскость равна этому отрезку, умноженному на косинус угла между прямой, содержащей этот отрезок, и плоскостью проекций, или (что то же самое) этому отрезку, умноженному на синус угла между прямой и перпендикуляром к плоскости проекций.
Пусть K
— точка пересечения прямых BM
и CC'
, лежащих в секущей плоскости. Из равенства прямоугольных треугольников KC'M
и BB'M
находим, что KC'=BB'=2\sqrt{5}
.
Введём прямоугольную систему координат Cxyz
с началом в точке C
, направив ось Cx
по лучу CD
, ось Cy
— по лучу CB
, ось Cz
— по лучу CC'
. Найдём координаты точек A'(5;10;2\sqrt{5})
, B'(0;10;2\sqrt{5})
и уравнение плоскости BMD
(уравнение плоскости в отрезках, см. задачу 7564)
\frac{x}{5}+\frac{y}{10}+\frac{z}{4\sqrt{5}}=1.
Тогда \overrightarrow{n}=\left(\frac{1}{5};\frac{1}{10};\frac{1}{4\sqrt{5}}\right)
— вектор перпендикулярный плоскости BMD
(вектор нормали), а \overrightarrow{m}=(0-5;10-10;2\sqrt5-2\sqrt{5})=(-5;0;0)
— направляющий вектор прямой A'B'
. Значит,
A'B'=|\overrightarrow{m}|=5,~|\overrightarrow{n}|=\sqrt{\left(\frac{1}{5}\right)^{2}+\left(\frac{1}{10}\right)^{2}+\left(\frac{1}{4\sqrt{5}}\right)^{2}}=\frac{1}{4},
Пусть угол между прямой A'B'
и перпендикуляром к плоскости BMD
равен \alpha
. Тогда
\cos\alpha=\frac{|\overrightarrow{m}\cdot\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|\cdot|\overrightarrow{n}|}=\frac{|-5\cdot\frac{1}{5}+0\cdot\frac{1}{10}+0\cdot\frac{1}{4\sqrt{5}}|}{5\cdot\frac{1}{4}}=\frac{1}{\frac{5}{4}}=\frac{4}{5}~\Rightarrow~\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^{2}\alpha}=\frac{3}{5}.
Следовательно, искомая ортогональная проекция равна
|A'B'|\cos(90^{\circ}-\alpha)=|\overrightarrow{m}|\sin\alpha=5\cdot\frac{3}{5}=3.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1993, задача 5, вариант 1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1993 с. 161, задача 5, вариант 1