1498. На сторонах AB
, BC
, AC
треугольника ABC
взяты точки C_{1}
, A_{1}
, B_{1}
соответственно, причём прямые AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
пересекаются в точке O
. Прямая, проходящая через точку O
параллельно AC
, пересекает прямые A_{1}B_{1}
и B_{1}C_{1}
в точках K
и M
. Докажите, что OK=OM
.
Решение. Через вершину B
проведём прямую, параллельную стороне AC
, и продолжим отрезки A_{1}B_{1}
и B_{1}C_{1}
до пересечения с этой прямой в точках P
и Q
соответственно. Предположим, что точка K
лежит на B_{1}P
. Достаточно доказать, что BP=BQ
.
Треугольник BA_{1}P
подобен треугольнику CA_{1}B_{1}
, а треугольник BC_{1}Q
— треугольнику AC_{1}B_{1}
, поэтому BP=CB_{1}\cdot\frac{BA_{1}}{A_{1}C}
и BQ=B_{1}A\cdot\frac{C_{1}B}{AC_{1}}
. Равенство BP=BQ
равносильно равенству
CB_{1}\cdot\frac{BA_{1}}{A_{1}C}=B_{1}A\cdot\frac{C_{1}B}{AC_{1}},
или
\frac{BA_{1}}{A_{1}C}\cdot\frac{CB_{1}}{B_{1}A}\cdot\frac{AC_{1}}{C_{1}B}=1,
что верно по теореме Чевы (см. задачу 1621). Значит, BP=BQ
. Следовательно, OK=OM
.