15014. На отрезке A_{1}C
в единичном кубе с основанием ABCD
и боковыми рёбрами AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
, DD_{1}
расположена точка K
. Прямая D_{1}K
пересекает плоскость грани ABCD
в точке L
, а прямая BK
— плоскость грани A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
в точке M
. Известно, что LM=3\sqrt{3}
. В каком отношении точка K
делит отрезок A_{1}C
?
Ответ. 1:(3\pm2\sqrt{2})
.
Решение. Проведём плоскость \alpha
через параллельные прямые A_{1}D_{1}
и BC
(см. рис.). Отрезок A_{1}C
, точки D_{1}
и B
лежат в плоскости \alpha
. Значит, точка L
пересечения прямой D_{1}K
с плоскостью ABCD
— общая точка плоскостей ABCD
и \alpha
, поэтому точка L
лежит на прямой BC
. Аналогично докажем, что заданная в условии точка M
лежит на прямой A_{1}D_{1}
Обозначим \frac{A_{1}K}{KC}=x
. Из подобия треугольников A_{1}KM
и CKB
получаем
x=\frac{A_{1}K}{KC}=\frac{A_{1}M}{BC}=\frac{MK}{KB}~\Rightarrow~A_{1}M=xBC=x.
Из подобия треугольников A_{1}KD_{1}
и CKL
(коэффициент \frac{1}{x}
) аналогично получаем
CL=\frac{1}{x}A_{1}D_{1}=\frac{1}{x}.
Опустим перпендикуляр MN
из точки M
на прямую BC
. Тогда-
CN=D_{1}=A_{1}D_{1}-A_{1}M=1-x,~NL=CL-CN=\frac{1}{x}-(1-x)=\frac{1}{x}+x-1.
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольнике MNL
с катетами MN=\sqrt{2}
, NL=\frac{1}{x}+x-1
и гипотенузой ML=3\sqrt{3}
получаем уравнение
\left(\frac{1}{x}+x-1\right)^{2}+2=27,~\mbox{или}~\left(\frac{1}{x}+x-1\right)^{2}=25.
Поскольку x\gt0
, верно неравенство
\frac{1}{x}+x\geqslant~2\sqrt{\frac{1}{x}\cdot x}=2~\Rightarrow~\frac{1}{x}+x\gt1,
(см. задачу 3399), поэтому
\frac{1}{x}+x=5~\mbox{или}~x^{2}-6x+1=0.
Значит, корни полученного квадратного уравнения — числа 3-2\sqrt{2}
и 3+2\sqrt{2}
.
Первый случай соответствует расположению точек M
и N
, указанному на рисунке. Для второго выполняется неравенство MK\gt KB
(точка M
лежит на продолжении отрезка D_{1}A_{1}
, а точка L
— на отрезке BC
).
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 2000, задача 5, вариант 1.1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 2000 с. 187, задача 5, вариант 1.1