15018. В основании треугольной пирамиды SABC
лежит треугольник ABC
, причём \angle ABC=90^{\circ}
, AB=6
. Все боковые рёбра пирамиды равны 13. Сфера радиуса \frac{156}{25}
, центр которой лежит на ребре BS
, касается плоскости основания пирамиды и проходит через точку S
. Найдите объём пирамиды.
Ответ. 96.
Решение. Пусть SH
— высота пирамиды. Поскольку её боковые ребра SA
, SB
и SC
равны, точка H
— центр описанной окружности прямоугольного треугольника ABC
(см. задачу 7153), т. е. середина его гипотенузы AC
.
Пусть O
— центр сферы из условия задачи, M
— точка касания сферы с плоскостью ABC
. Тогда прямые OM
и SH
параллельны как перпендикуляры к плоскости основания (см. задачу 7701), а треугольники BOM
и BSH
подобны. Значит,
\frac{SH}{SB}=\frac{OM}{OB}=\frac{OM}{SB-SO}=\frac{\frac{165}{25}}{13-\frac{156}{25}}=\frac{156}{169},
откуда
SH=SB\cdot=13\cdot\frac{156}{169}=\frac{156}{13}=12.
Тогда
AC=2AH=2\sqrt{SA^{2}-SH^{2}}=2\sqrt{13^{2}-12^{2}}=2\cdot5=10,
BC=\sqrt{AC^{2}-AB^{2}}\sqrt{10^{2}-6^{2}}=8.
Следовательно,
V_{SABC}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot SH=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BC\cdot SH=\frac{1}{6}\cdot6\cdot8\cdot12=96.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 2000, задача 5, вариант 2.1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 2000 с. 189, задача 5, вариант 2.1