15054. В основании треугольной призмы лежит равнобедренный прямоугольный треугольник ABC
, катеты AB
и AC
которого равны a
. Боковые рёбра AA'
, BB'
, CC'
образуют с плоскостью основания углы в 60^{\circ}
, а диагональ BC'
боковой грани CBB'C'
перпендикулярна ребру AC
. Найдите объём призмы, если BC'=a\sqrt{6}
.
Ответ. \frac{a^{3}\sqrt{6}}{2}
или \frac{a^{3}\sqrt{15}}{4}
.
Решение. Пусть C'D
— высота призмы. Прямая AC
перпендикулярна пересекающимся прямым BC'
и AB
плоскости ABC'
, поэтому прямая AC
перпендикулярна плоскости ABC'
. Плоскость ABC
проходит через прямую AC
, перпендикулярную плоскости ABC'
, значит, плоскости ABC
и ABC'
перпендикулярны (см. признак перпендикулярности плоскостей, задача 7710). Тогда перпендикуляр C'D
, опущенный из вершины C'
на плоскость ABC
(т. е. высота призмы), лежит в плоскости ABC'
(см. задачу 7713), а его основание D
лежит на прямой AB
.
Обозначим BD=x
. Тогда по теореме Пифагора
CD^{2}=AC^{2}+AD^{2}=a^{2}+(a-x)^{2}.
С другой стороны, из прямоугольных треугольников CDC'
и C'DB
получаем
C'D=CD\tg60^{\circ}=CD\sqrt{3},~C'D^{2}=3CD^{2}=3(a^{2}+(a-x)^{2}),
C'D^{2}=BC'^{2}-BD^{2}=6a^{2}-x^{2}.
Значит,
3(a^{2}+(a-x)^{2})=6a^{2}-x^{2},~\mbox{или}~2x^{2}-3ax=0,
откуда x=0
или x=\frac{3}{2}a
.
В первом случае точка D
совпадает с B
, тогда C'D=a\sqrt{6}
; во втором — точка D
лежит на продолжении отрезка AB
за точку A
, тогда C'D=\frac{a\sqrt{15}}{2}
. Следовательно, в первом случае объём призмы равен
V=S_{\triangle ABC}\cdot C'D=\frac{1}{2}a^{2}\cdot a\sqrt{6}=\frac{a^{3}\sqrt{6}}{2};
во втором —
V=\frac{1}{2}a^{2}\cdot\frac{a\sqrt{15}}{2}=\frac{a^{3}\sqrt{15}}{4}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический и экономический факультеты НГУ. — 1977, задача 5, вариант 1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1977 с. 12, задача 5, вариант 1