15057. Основание четырёхугольной пирамиды SABCD
— равнобедренная трапеция ABCD
. Основание CD
трапеции равно 1, а все остальные рёбра пирамиды равны 2; CM
— высота боковой грани SBC
; KL
— средняя линия треугольника SCD
, параллельная стороне CD
. Через точку A
проходит прямая, пересекающая прямые KL
и CM
в точках P
и Q
. Найдите PQ
.
Ответ. \frac{\sqrt{30}}{6}
.
Решение. Рассмотрим плоскость ABKL
. Она проходит через точку прямую LK
и не лежащую на ней точку A
. Прямая CM
пересекает это плоскость в центре Q
равностороннего треугольника BSC
, а прямая AQ
, лежащая в плоскости ABKL
, пересекает прямую LK
, лежащую в этой же плоскости, в точке P
. Таким образом, прямая AQ
, проходящая через точку A
, пересекает скрещивающиеся прямые KL
и CM
в точках P
и Q
соответственно.
Параллельные прямые KL
и AB
лежащие в плоскости ABKL
пересекаются в точке Q
. Треугольники PQK
и AQB
подобны с коэффициентом \frac{QK}{QB}=\frac{1}{2}
, поэтому PQ={1}{2}AQ
.
Рассмотрим равнобедренную трапецию ALKB
с основаниями KL=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}
, AB=2
и боковыми сторонами
AL=BK=\frac{BC\sqrt{3}}{2}=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}.
Пусть KH
— её высота, а QR
— высота треугольника AQB
. Тогда (см. задачу 1921)
BH=\frac{AB-KL}{2}=\frac{2-\frac{1}{2}}{2}=\frac{3}{4},
а так как прямоугольные треугольники BRQ
и BHK
подобны с коэффициентом \frac{BQ}{BK}=\frac{2}{3}
, то
BR=\frac{2}{3}BH=\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{4}=\frac{1}{2},~BQ=\frac{2}{3}BK=\frac{2}{3}\cdot\sqrt{3}=\frac{2}{\sqrt{3}},
поэтому
QR^{2}=BQ^{2}-BR^{2}=\frac{4}{3}-\frac{1}{4}=\frac{13}{12}.
Тогда
AR=AB-BR=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2},~AQ=\sqrt{AR^{2}+QR^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{13}{12}}=\sqrt{\frac{10}{3}}.
Следовательно,
PQ=\frac{1}{2}AQ=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{10}{3}}=\frac{\sqrt{30}}{6}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический и экономический факультеты НГУ. — 1978, задача 5, вариант 1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1978 с. 16, задача 5, вариант 1