15098. В параллелепипеде ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
с основанием ABCD
и боковыми рёбрами AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
, DD_{1}
точки M
, N
, F
, G
— середины рёбер A_{1}B_{1}
, CC_{1}
, AD
и CD
соответственно. Плоскость FB_{1}D_{1}
пересекает отрезок MN
в точке K
, а плоскость GB_{1}D_{1}
— в точке L
. Найдите отношение MK:KL:LN
.
Ответ. 10:4:21
.
Решение. Пусть T
и R
— середины рёбер AB
и BC
соответственно. Плоскости FB_{1}D_{1}
и GB_{1}D_{1}
пересекают плоскость основания ABCD
по прямым, параллельным прямой B_{1}D_{1}
(см. задачу 8009). Это будут прямые FT
и GR
соответственно (рис. 1). Плоскость CC_{1}M
содержит отрезок MN
и проходит через точку T
.
Пусть P
и Q
точки пересечения отрезков B_{1}D_{1}
и C_{1}M
, CT
и GR
соответственно. Треугольник MPB_{1}
подобен треугольнику C_{1}PD_{1}
с коэффициентом \frac{MB_{1}}{C_{1}D_{1}}=\frac{1}{2}
, поэтому
MP=\frac{1}{2}PC_{1}=\frac{1}{3}MC_{1}.
Аналогично из подобия треугольников TGQ
и CRQ
получаем, что CQ=\frac{1}{3}CT
.
Рассмотрим сечение параллелепипеда плоскостью CC_{1}M
(рис. 2). Точки K
и L
из условия задачи, — это точки пересечения отрезков соответственно PT
и PQ
с прямой MN
. Пусть эта прямая пересекается с прямой CT
в точке H
. Тогда из равенства треугольников CNH
и C_{1}NM
получаем
CH=MC_{1},~TH=2MC_{1},~MH=2MN,~QH=QC+CH=\frac{4}{3}CH=\frac{4}{3}MC_{1}.
Треугольники MKP
и HKT
подобны с коэффициентом \frac{MP}{HT}=\frac{1}{6}
, а треугольники MLP
и HLQ
— с коэффициентом \frac{MP}{HQ}=\frac{1}{4}
. Тогда
MK=\frac{1}{6}KH=\frac{1}{7}MH=\frac{2}{7}MN,~ML=\frac{1}{5}MH=\frac{2}{5}MN.
Значит,
LN=MN-ML=MN-\frac{2}{5}MN=\frac{3}{5}MN,~KL=ML-MK=\frac{2}{5}MN-\frac{2}{7}MN=\frac{4}{35}MN.
Следовательно,
MK:KL:LN=\frac{2}{7}MN:\frac{4}{35}MN:\frac{3}{5}MN=10:4:21.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический и экономический факультеты НГУ. — 2002, задача 5, вариант 2.1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 2002, с. 101, задача 5, вариант 2.1