15106. В основании четырёхугольной пирамиды
SABCD
лежит трапеция
ABCD
, у которой отношение основания
AB
к основанию
CD
равно
2:3
. Точки
K
,
L
,
M
и
N
лежат на рёбрах
SA
,
SB
,
SC
и
SD
соответственно. Известно, что
SM=MC
,
SK:KA=3:2
, отрезки
KN
и
LM
параллельны. Найдите отрезок
KN
, если
LM=5
.
Ответ. 4.
Решение. Рассмотрим двугранный угол между гранями
ASD
и
BSC
). Его ребро — прямая
SO
, где
O
— точка пересечения лучей
DA
и
BC
. Плоскости
ASD
и
BSC
проходят через параллельные прямые
KN
и
LM
соответственно, поэтому прямая
SO
пересечения этих плоскостей параллельна
KN
и
LM
(см. задачу 8004).
Из подобия треугольников
AOB
и
DOC
следует, что
\frac{OB}{OC}=\frac{AB}{DC}=\frac{2}{3}.

В плоскости
OSC
есть ещё две пары подобных треугольников —
\triangle OSC
и
\triangle PMC
, а также
\triangle OSB
и
\triangle PLB
. Отсюда
OP=\frac{1}{2}OC=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}OB=\frac{3}{4}OB,~PB=OB-OP=OB-\frac{3}{4}OB=\frac{1}{4}OB,

MP=\frac{1}{2}OS,~LP=\frac{1}{4}OS,~LM=MP-LP=\frac{1}{2}OS-\frac{1}{4}OS=\frac{1}{4}OS.

В плоскости
OSD
тоже расположены две пары подобных треугольников —
\triangle OSD
и
\triangle QND
, а также
\triangle OSA
и
\triangle QKA
. Рассуждая аналогично, получим, что
KN=\frac{1}{5}LM=\frac{1}{5}\cdot5=4.

Источник: Вступительный экзамен на механико-математический и экономический факультеты НГУ. — 2001, задача 5, вариант 2.1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 2001, с. 96, задача 5, вариант 2.1