15127. Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды SABCD
с основанием ABCD
равны 1. Точка M
находится в плоскости грани SAD
и равноудалена от вершин S
, C
и D
. Найдите объём пирамиды SMAB
.
Ответ. \frac{\sqrt{2}}{12}
.
Решение. Точка M
равноудалена от вершин C
и D
, поэтому она лежит лежит в плоскости \alpha
, перпендикулярной прямой CD
и проходящей через середину N
отрезка CD
(см. задачу 8171). В этой же плоскости \alpha
лежат вершина S
пирамиды и середина L
стороны AB
, поскольку они тоже равноудалены от точек C
и D
(рис. 1).
В то же время, плоскость \alpha
параллельна прямой AD
, поэтому плоскости \alpha
и SAD
пересекаются по прямой l
, параллельной AD
(и, значит, плоскости основания ABCD
). Следовательно, точка M
лежит на прямой l
.
Опустим перпендикуляр MO
на плоскость SCD
. По условию SM=CM=DM
, поэтому прямоугольные треугольники SMO
, DMO
и CMO
равны по катету и гипотенузе. Значит, основание O
высоты SO
треугольной пирамиды MSCD
с вершиной M
— центр окружности, описанной около треугольника CSD
(см. задачу 7163), т. е. центр равностороннего треугольника CSD
со стороной 1. Значит,
SN=\frac{\sqrt{3}}{3},~SO=\frac{2}{3}SN=\frac{\sqrt{3}}{3}.
Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью \alpha
(рис. 2) и опустим высоту SP
равнобедренного треугольника SLN
. Обозначим \angle SNP=\beta
. Тогда
\cos\beta=\frac{PN}{SN}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}.
Учитывая, что \angle MSO=\angle SNP=\beta
, из прямоугольного треугольника SOM
находим
SM=\frac{SO}{\cos\beta}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{1}{\sqrt{3}}}=1.
Для вычисления объёма V
пирамиды SMAB
опустим из точки L
перпендикуляр LK
на прямую SM
и проведём плоскость ABK
(рис. 2). Поскольку AB\perp SM
и LK\perp SM
, получаем, что MK
— перпендикуляр к плоскости ABK
. Равнобедренные треугольники SLN
и KAB
равны по трём сторонам BK=LK=SL
(как апофемы данной правильной пирамиды, а AB=BC=LN
— как стороны основания пирамиды). Значит,
LK=SP=\sqrt{SN^{2}-PN^{2}}=\sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}-\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{2}}{2},
S_{\triangle ABK}=\frac{1}{2}AB\cdot LK=\frac{1}{2}\cdot1\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4},
причём
SK=LP=\frac{1}{2},~SM=1,~MK=SK+SM=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}.
Следовательно,
V_{SMAB}=V_{MKAB}-V_{SKAB}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABK}\cdot MR-\frac{1}{3}S_{\triangle ABK}\cdot SK=
=\frac{1}{3}S_{\triangle ABK}\cdot(MK-SK)=\frac{1}{3}\cdot\frac{\sqrt{2}}{4}\cdot\left(\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\right)=\frac{\sqrt{2}}{12}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический и экономический факультеты НГУ. — 1998, задача 5, вариант 1.1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1998, с. 78, задача 5, вариант 1.1