15151. В правильной пирамиде SABCD
рёбра основания ABCD
равны 8\sqrt{2}
, высота пирамиды равна 6. Точки M
и K
— середины рёбер SD
и CD
соответственно. На прямой MK
выбирается произвольным образом точка P
. Найдите наименьшую возможную величину угла PBD
.
Ответ. \arctg\frac{1}{5}
.
Решение. Пусть O
— центр основания пирамиды, N
— основание перпендикуляра, опущенного из точки M
на диагональ BD
основания. Отрезок MN
— средняя линия прямоугольного треугольника SOD
, поэтому N
— середина отрезка OD
. Отрезок KN
— средняя линия прямоугольного треугольника COD
, поэтому KN\perp BD
. Прямая BD
перпендикулярна плоскости MKN
, поскольку пересекающиеся прямые MN
и KM
перпендикулярны этой плоскости. Значит, прямая PN
, лежащая в этой плоскости, перпендикулярна BD
, т. е. PN
— высота треугольника PBD
.
Обозначим \angle PBD=\alpha
. Тогда \tg\alpha=\frac{PN}{BN}
, причём знаменатель BN
этой дроби — постоянная величина, равная
\frac{3}{4}BD=\frac{3}{4}\cdot8\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=12.
Значит, \tg\alpha
— наименьший, если наименьший отрезок PN
, т. е. если PN
— высота треугольника KMN
.
Найдём стороны треугольника MNK
.
KN=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\cdot8\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=4,
MN=\frac{1}{2}SO=\frac{1}{2}\cdot6=3,~KM=\sqrt{KN^{2}+MN^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5.
Значит (см. задачу 1967),
NP=\frac{MN\cdot KN}{KM}=\frac{3\cdot4}{5}=\frac{12}{5}.
Тогда
\tg\alpha=\frac{NP}{BN}=\frac{\frac{12}{5}}{12}=\frac{1}{5}.
Следовательно, наименьшее значение — \alpha=\arctg\frac{1}{5}
.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический и экономический факультеты НГУ. — 1997, задача 5, вариант 1.2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1997, с. 74, задача 5, вариант 1.2