15158. Основание прямоугольного параллелепипеда с боковыми рёбрами AA'
, BB'
, CC'
, DD'
— прямоугольник ABCD
со сторонами AB=\sqrt{7}
, BC=1
. Точка M
— середина ребра AB
. Найдите объём параллелепипеда, если известно, что отрезки MC'
и B'D
образуют равные углы с плоскостью A'BCD'
.
Ответ. 2\sqrt{7}
.
Решение. Докажем сначала вспомогательное утверждение. Пусть точки A
и B
расположены по разные стороны от плоскости \alpha
(рис. 1). Тогда синус угла между прямой AB
и плоскостью \alpha
равен отношению суммы расстояний от точек A
и B
до плоскости \alpha
к отрезку AB
.
Действительно, обозначим через P
и Q
проекции точек A
и B
на данную плоскость, а через \varphi
— искомый угол. Тогда
AP=AM\sin\varphi,~BQ=BM\sin\varphi~\Rightarrow~\frac{AP+BQ}{AB}=\frac{AM\sin\varphi+BM\sin\varphi}{AM+BM}=\sin\varphi.
(Заметим, что если точки A
и B
лежат по одну сторону от плоскости \alpha
, то вместо суммы расстояний надо взять разность.)
Вернёмся к нашей задаче. Обозначим через x
высоту параллелепипеда, а через P
, Q
, N
и K
— проекции точек соответственно M
, C'
, B'
и D
на плоскость A'BCD'
(рис. 2). По теореме Пифагора
MC'=\sqrt{CM^{2}+CC'^{2}}=\sqrt{MB^{2}+BC^{2}+CC'^{2}}=\sqrt{\frac{7}{4}+1+x^{2}}=\sqrt{\frac{11}{4}+x^{2}},
B'D=\sqrt{BB'^{2}+BD^{2}}=\sqrt{AB^{2}+AD^{2}+BD^{2}}=\sqrt{7+1+x^{2}}=\sqrt{8+x^{2}}.
Отрезки DK
, B'N
и C'Q
равны, так как каждый из них равен \frac{x\sqrt{7}}{\sqrt{7+x^{2}}}
(см. задачу 1967), а MP=\frac{1}{2}C'Q
.
Пусть прямые MC'
и B'D
образуют с плоскостью A'BCD'
углы, равные \varphi
. Согласно доказанному вспомогательному утверждению
\frac{MP+C'Q}{MC'}=\sin\angle\varphi=\frac{DK+B'N}{B'D},~\mbox{или}~\frac{\frac{3}{2}C'Q}{\sqrt{\frac{11}{4}+x^{2}}}=\frac{2C'Q}{\sqrt{8+x^{2}}}.
Разделив обе части последнего равенства на C'Q
и возведя в квадрат, получим
\frac{9}{4}(8+x^{2})=11+4x^{2}~\Leftrightarrow~x^{2}~\Rightarrow~x=2.
Следовательно, объём параллелепипеда равен
V=\sqrt{7}\cdot1\cdot x=\sqrt{7}\cdot1\cdot2=2\sqrt{7}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический и экономический факультеты НГУ. — 1995, задача 4, вариант 1.1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1995, с. 78, задача 4, вариант 1.1