15162. Дан куб ABCDA'B'C'D'
; AA'\parallel BB'\parallel CC'\parallel DD'
, ребро куба равно 1. Точка Q
— центр грани A'B'C'D'
. Найдите радиус сферы, проходящей через точки B
, D
, C'
, Q
.
Ответ. \frac{\sqrt{11}}{4}
.
Решение. Геометрическое место точек, равноудалённых от вершин B
, C'
и D
, есть прямая A'C
(см. задачу 9056). Значит, центр O
сферы лежит на этой прямой. Чтобы построить точку O
, достаточно указать на прямой A'C
точку, равноудалённую от C'
и Q
.
Рассмотрим плоскость A'CC'
. Если O
— искомая точка, то треугольник QC'O
равнобедренный. Следовательно, основание P
его высоты OP
совпадает с серединой отрезка C'Q
. Учитывая, что Q
— середина отрезка A'C
, находим
C'P=\frac{1}{4}A'C'=\frac{\sqrt{2}}{4},~OP=\frac{3}{3}CC'=\frac{3}{4}.
Следовательно, если R
— искомый радиус, то
R=OC'=\sqrt{OP^{2}+C'P^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}+\frac{1}{8}}=\frac{\sqrt{11}}{4}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический и экономический факультеты НГУ. — 1994, задача 5, вариант 1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1994, с. 62, задача 5, вариант 1