15166. Дан прямоугольный треугольник ABC
с катетами AC=4
, BC=3
. Точка N
лежит на луче AC
, AN=6
. Шар радиуса 4 касается лучей BA
и BC
, а его центр равноудалён от точек A
и N
. Найдите расстояние от центра шара до точки A
.
Ответ. 5.
Решение. Центр O
данного шара лежит в плоскости, перпендикулярной отрезку AN
и проходящей через его середину M
(см. задачу 8171). С другой стороны, центр O
лежит в плоскости, перпендикулярной плоскости ABC
и проходящей через биссектрису BL
треугольника ABC
. Следовательно, проекция O'
центра O
на плоскость ABC
совпадает с пересечением серединного перпендикуляра к отрезку AN
и биссектрисы угла B
.
По теореме Пифагора
AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}=16+9=25~\Rightarrow~AB=5,
а по свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509)
\frac{AC}{CL}=\frac{AB}{BC}=\frac{5}{3}~\Rightarrow~CL=\frac{3}{2}.
Тогда
ML=NL-NM=(NC+CL)-NM=\left(2+\frac{3}{2}\right)-3=\frac{1}{2}.
Пусть P
и Q
— ортогональные проекции точки O'
на AB
и BC
соответственно, т. е. P
и Q
— точки касания шара с лучами BA
и BC
. Тогда, учитывая, что CMOQ
— прямоугольник, а
\ctg O'BP=\ctg\angle LBC=\frac{BC}{LC}=\frac{BC}{LC}=\frac{3}{\frac{3}{2}}=2,
получим
O'P=O'Q=MC=CL-ML=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=1,~BP=O'P\cdot\ctg O'BP=\ctg LBC=2,
AP=AB-BP=5-2=3.
По теореме о трёх перпендикулярах, треугольник OAP
прямоугольный, с прямым углом при вершине P
, поэтому
OA^{2}=OP^{2}+AP^{2}=16+9=25~\Rightarrow~OA=5.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический и экономический факультеты НГУ. — 1993, задача 5, вариант 1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1993, с. 60, задача 5, вариант 1