15188. В основании правильной треугольной призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
лежит треугольник ABC
со стороной 2, боковые ребра AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
равны 1. Точки K
и L
— середины рёбер AB
и B_{1}C_{1}
, точки M
и N
— середины рёбер A_{1}B_{1}
и AC
соответственно. Через прямые KL
и MN
проведены параллельные плоскости. Найдите объём части призмы, содержащейся между этими плоскостями
Ответ. \frac{5\sqrt{3}}{12}
.
Решение. Пусть плоскость \alpha
проходит через прямую MN
, а параллельная ей плоскость \beta
— через прямую KL
(рис. 1). Рассмотрим вспомогательную плоскость MNK
. Параллельные плоскости \alpha
и \beta
пересекают её по параллельным прямым (см. задачу 8009).
Плоскость \alpha
пересекает её по прямой MN
, а плоскость \beta
— по прямой l
, проходящей через точку K
и параллельной MN
. Если точка T
— середина ребра A_{1}C_{1}
, то прямая l
пересекает прямую TM
в некоторой точке S
, причём SM=NK=TM=
1, точка S
лежит в плоскости A_{1}B_{1}C_{1}
, прямая ST
параллельна B_{1}C_{1}
. Все стороны четырёхугольника SMLB_{1}
равны 1, значит, это ромб. Его диагонали LS
и B_{1}M
пересекаются в середине P
отрезка B_{1}M
.
Плоскость \beta
пересекает плоскость A_{1}B_{1}C_{1}
по прямой SL
, поэтому \beta
пересекает ребро A_{1}B_{1}
в точке P
. Тогда плоскость \alpha
проходит через прямую C_{1}M
, параллельную LP
. Плоскость \beta
пересекается с основанием ABC
по прямой KC
, а с плоскостью \alpha
— по прямой NQ
, где Q
— середина отрезка AK
(рис. 2).
Часть данной призмы, заключённая между плоскостями \alpha
и \beta
, получается, если отделить от неё две равные усечённые пирамиды CKBLPB_{1}
и A_{1}C_{1}MANQ
. Поскольку B_{1}P=\frac{1}{2}BK
, прямые KP
и BB_{1}
пересекаются в точке E
, причём BE=2BB_{1}=2
. Объём усечённой пирамиды CKBLPB_{1}
можно вычислить как разность объёмов пирамид ECKB
и ELPB_{1}
. Высота первой BE=2
, площадь её основания CKB
равна
\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\cdot\frac{4\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}.
поэтому объём пирамиды ECKB
равен
\frac{1}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot2=\frac{\sqrt{3}}{3},
а объём подобной ей с коэффициентом \frac{1}{2}
пирамиды ELPB_{1}
равен \frac{1}{8}
объёма пирамиды ECKB
. Значит, объём каждой из двух рассматриваемых усечённых пирамид равен \frac{7}{8}
объёма пирамиды ECKB
, т. е.
\frac{7}{8}\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{7\sqrt{3}}{24}.
Учитывая, что объём всей призмы равен
S_{\triangle ABC}\cdot BB_{1}=\frac{4\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3},
получим, что объём её части, заключённой между плоскостями \alpha
и \beta
, равен
\sqrt{3}-2\cdot\frac{7\sqrt{3}}{24}=\frac{5\sqrt{3}}{12}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический и экономический факультеты НГУ. — 1988, задача 5, вариант 2.1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1988, с. 47, задача 5, вариант 2.1