15192. Все рёбра правильной треугольной призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
с основанием ABC
и боковыми рёбрами AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
равны 1. Через середину M
отрезка AB_{1}
перпендикулярно прямой AB_{1}
проведена плоскость \alpha
. Найдите расстояние от вершины C
до плоскости \alpha
.
Решение. Пусть d
— искомое расстояние. Введём прямоугольную систему координат Axyz
, с началом в вершине A
, как показано на рисунке с началом в точке A
. Рассмотрим точки B_{1}\left(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2};1\right)
, M\left(\frac{1}{4};\frac{\sqrt{3}}{4};\frac{1}{2}\right)
, C(1;0;0)
и вектор \overrightarrow{AB_{1}}=\left(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2};1\right)
. Тогда уравнение плоскости, проведённой через точку K
перпендикулярно прямой AB_{1}
, имеет вид
\frac{1}{2}\left(x-\frac{1}{4}\right)+\frac{\sqrt{3}}{2}\left(y-\frac{\sqrt{3}}{4}\right)+1\cdot\left(z-\frac{1}{2}\right)=0,~\mbox{или}~x+\sqrt{3}y+2z-2=0.
(см. задачу 7561). Следовательно (см. задачу 7563),
d=\frac{\left|1\cdot1+\sqrt{3}\cdot0+2\cdot0-2\right|}{1+3+4}=\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический и экономический факультеты НГУ. — 1987, задача 5, вариант 2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1987, с. 43, задача 5, вариант 2