15200. В основании прямой призмы ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
лежит ромб ABCD
с острым углом A
, равным 60^{\circ}
, и стороной 2. Высота призмы равна \sqrt{3}
. Через вершину C
параллельно диагонали BD
основания проходит плоскость \beta
, которая пересекает ребро AA_{1}
и делит призму на две части, объёмы которых относятся как 1:2
. Найдите расстояние от вершины A
до плоскости \beta
.
Ответ. \sqrt{\frac{6}{5}}
.
Решение. Через прямую BD
, параллельную секущей плоскости, проходит плоскость BDD_{1}B_{1}
, поэтому прямая пересечения этих двух плоскостей параллельна BD
. Пусть эта прямая пересекает рёбра BB_{1}
и DD_{1}
в точках M
и N
соответственно, O
и O_{1}
— центры ромбов ABCD
и A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
соответственно, L
— точка пересечения OO_{1}
и CK
. Положим
OL=ND=MB=xBB_{1}=x\sqrt{3}.
Тогда по теореме о средней линии треугольника AK=2OL=2x\sqrt{3}
.
Пусть объём данной призмы равен V
, объём части призмы, содержащей точку A
, равен V_{1}
. Эта часть состоит из четырёхугольной пирамиды CBDNM
с вершиной C
(обозначим её объём через V_{1}
) и многогранника KABDNM
(обозначим его объём через V'
), который, в свою очередь, состоит из четырёхугольной пирамиды KBDNM
с вершиной K
(объём этой пирамиды тоже равен V_{1}
) и треугольной пирамиды KABD
с вершиной A_{1}
(обозначим её объём через V_{2})
. Тогда
V_{1}=\frac{1}{3}S_{BDNM}\cdot CO=\frac{1}{3}\cdot BD\cdot BM\cdot CO=\frac{1}{3}\cdot2\cdot x\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=2x,
V_{2}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABD}\cdot KA=\frac{1}{3}\cdot\frac{2^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot2x\sqrt{3}=2x,
V'=2V_{1}+V_{2}=4x+2x=6x,
V=S_{ABCD}\cdot AA_{1}=\frac{1}{2}BD\cdot AC\cdot AA_{1}=\frac{1}{2}\cdot2\cdot2\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=6.
Из условия следует, что либо V'=\frac{1}{3}V
, либо V'=\frac{2}{3}V
.
1. Пусть
V'=\frac{1}{3}V,~\mbox{т. е.}~6x=2~\Rightarrow~x=\frac{1}{3}~\Rightarrow~AK=2MB=2\cdot\frac{1}{3}\sqrt{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}.
Опустим перпендикуляр AH
на гипотенузу CK
прямоугольного треугольника KAC
. Прямая AH
перпендикулярна пересекающимся прямым CK
и MN
(по теореме о трёх перпендикулярах). Значит, искомое расстояние d
от точки A
до секущей плоскости равно AH
. Следовательно (см. задачу 1967),
AK=2BM=2\sqrt{3},~d=AH=\frac{AC\cdot AK}{\sqrt{AC^{2}+AK^{2}}}=\frac{2\sqrt{3}\cdot2\sqrt{3}}{\sqrt{12+\frac{4}{3}}}=\sqrt{\frac{6}{5}}.
2. Пусть
V'=\frac{2}{3}V,~\mbox{т. е.}~6x=\frac{2}{3}\cdot6=4~\Rightarrow~x=\frac{2}{3}.
В этом случае
AK=2MB=2\cdot\frac{2}{3}\sqrt{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3},
d=AH=\frac{AC\cdot AK}{\sqrt{AC^{2}+AK^{2}}}=\frac{2\sqrt{3}\cdot\frac{4\sqrt{3}}{3}}{\sqrt{12+\frac{16}{3}}}=\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{13}}\gt\sqrt{3},
что противоречит условию задачи.
Следовательно, AH=\sqrt{\frac{6}{5}}
.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический и экономический факультеты НГУ. — 1985, задача 5, вариант 2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1985, с. 38, задача 5, вариант 2