15204. Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды SABCD
с основанием ABCD
равны. Плоскость \alpha
перпендикулярна прямой AS
, плоскость \beta
параллельна прямой CD
. Найдите наименьший возможный угол между плоскостями \alpha
и \beta
.
Ответ. 30^{\circ}
.
Указание. Треугольник ASC
прямоугольный. Пусть плоскость \alpha
проходит через точку S
. Тогда прямая SC
лежит в плоскости \alpha
. Если провести плоскость \beta
через прямую CD
и считать, что все рёбра равны 1, то перпендикуляр, опущенный из точки D
на плоскость \alpha
, равен \frac{1}{2}AS=\frac{1}{2}
. Отрезок CD
, соединяющий точку D
и ребро двугранного угла, CD=1
. Если \varphi
— угол между плоскостями \alpha
и \beta
, то \sin\varphi=\frac{1}{2}
.
См. также задачу 15203.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический и экономический факультеты НГУ. — 1983, задача 4, вариант 2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1983, с. 34, задача 4, вариант 2