15205. Дана правильная треугольная призма ABCA_{1}B_{1}C_{1}
с основанием ABC
и боковыми рёбрами AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
. Все рёбра призмы равны. Плоскость \alpha
перпендикулярна прямой BC_{1}
, плоскость \beta
параллельна прямой AA_{1}
. Найдите наименьший возможный угол между плоскостями \alpha
и \beta
.
Ответ. 30^{\circ}
.
Указание. Пусть K
— середина ребра AB
. В качестве плоскости \alpha
можно взять плоскость A_{1}KD
, которая перпендикулярна AB
. Если считать, что плоскость \beta
проходит через прямую AA_{1}
, а рёбра равны 1, то AK
— перпендикуляр, опущенный из точки A
на плоскость \alpha
, AK=\frac{1}{2}
, в то время как AA_{1}
— отрезок, соединяющий точку A
с ребром двугранного угла, AA_{1}=1
. Если \varphi
— угол между плоскостями \alpha
и \beta
, то \sin\varphi\geqslant\frac{1}{2}
и \varphi\geqslant30^{\circ}
.
См. также задачу 15203.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический и экономический факультеты НГУ. — 1983, задача 4, вариант 4
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1983, с. 35, задача 4, вариант 4