15206. В параллелепипеде ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
с основанием ABCD
и боковыми рёбрами AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
, DD_{1}
все рёбра равны, все плоские углы при вершине A
равны 60^{\circ}
. Плоскость \alpha
перпендикулярна прямой A_{1}B_{1}
, плоскость \beta
параллельна прямой AA_{1}
. Найдите наименьший возможный угол между плоскостями \alpha
и \beta
.
Ответ. 452^{\circ}
.
Указание. Пусть плоскость \alpha
проходит через точку A
, а все рёбра параллелепипеда равны 1. Тогда перпендикуляр A_{1}K
, опущенный из вершины A_{1}
на плоскость \alpha
, параллелен BC_{1}
и равен \frac{1}{\sqrt{2}}
. Если считать, что плоскость \beta
проходит через прямую AA_{1}
, то точка A
лежит на ребре двугранного угла, AA_{1}=1
. Для угла \varphi
между плоскостями \alpha
и \beta
верно неравенство \sin\varphi\geqslant\frac{A_{1}K}{AA_{1}}=\frac{1}{\sqrt{2}}
, т. е. \varphi\geqslant45^{\circ}
.
См. также задачу 15203.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический и экономический факультеты НГУ. — 1983, задача 4, вариант 3
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1983, с. 34, задача 4, вариант 3