15212. В основании четырёхугольной пирамиды SABCD
лежит прямоугольник ABCD
со сторонами AB=3
, BC=2
. Боковые рёбра пирамиды равны, её высота равна 3
. Плоскость параллельна прямым SB
и AC
, плоскость \beta
параллельна прямым SC
и BD
. Найдите угол между плоскостями \alpha
и \beta
.
Ответ. \arcsin\frac{12\sqrt{2}}{2}=\arccos\frac{1}{17}=2\arctg\frac{2\sqrt{2}}{3}=\arctg12\sqrt{2}
.
Указание. Пусть плоскость \alpha
проведена через прямую SB
, плоскость \beta
— через прямую SC
, прямая l
— через точку O
пересечения диагоналей основания ABCD
параллельно BC
. Тогда точки пересечения прямой l
с прямыми, получившимися в пересечении \alpha
и \beta
с плоскостью ABCD
, и этих двух прямых являются вершинами треугольника, стороны которого параллельны сторонам треугольника BOC
. Далее рассуждения проводятся так же, как и в задаче 14812.
См. также задачу 15211.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический и экономический факультеты НГУ. — 1981, задача 5, вариант 3
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1981, с. 30, задача 5, вариант 3