15213. В основании пирамиды SABC
лежит правильный треугольник ABC
со стороной 2. Ребро SA
перпендикулярно плоскости основания, SA=\sqrt{3}
. Плоскость \alpha
параллельна прямым SC
и AB
, точка K
— середина ребра BC
. Найдите угол между прямой AK
и плоскостью \alpha
.
Ответ. \arcsin\frac{\sqrt{2}}{4}
.
Указание. Пусть плоскость \alpha
проходит через прямую SC
. Тогда \alpha
пересечёт в плоскости ABC
прямую AK
в точке D
, причём ABDC
— ромб со стороной 2. Перпендикуляры, опущенные из точек S
и A
на прямую CD
, пересекутся в одной точке N
. Пусть AM
— высота треугольника SAN
. Треугольник AMDR
прямоугольный, а угол ADM
— искомый.
Также см. задачу 1511.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический и экономический факультеты НГУ. — 1981, задача 5, вариант 4
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1981, с. 30, задача 5, вариант 4