1529. Дан треугольник ABC
. На продолжении стороны AC
за точку C
взята точка N
, причём CN=\frac{2}{3}AC
. Точка K
находится на стороне AB
, причём AK:KB=3:2
. В каком отношении прямая KN
делит сторону BC
?
Ответ. 5:3
, считая от точки B
.
Указание. Проведите через вершину B
прямую, параллельную стороне AC
, и рассмотрите две пары подобных треугольников (или примените теорему Менелая, см. задачу 1622).
Решение. Через точку B
проведём прямую, параллельную AC
. Пусть прямая KN
пересекает её в точке T
, а прямую BC
— в точке M
.
Обозначим AC=a
. Тогда CN=\frac{2}{3}a
, AN=\frac{5}{3}a
. Из подобия треугольников TKB
и NKA
(коэффициент \frac{2}{3}
) находим, что
TB=\frac{2}{3}AN=\frac{10}{9}a,
а из подобия треугольников TBM
и NCM
—
\frac{BM}{MC}=\frac{TB}{CN}=\frac{\frac{10}{9}a}{\frac{2}{3}a}=\frac{5}{3}.