15302. Дан тетраэдр
ABCD
. Известно, что
AD=BC=10
,
AC=BD=11
,
AB=9
и
CD=13
. Борис выбирает точку
X
внутри тетраэдра и считает сумму
AX+BX+CX+DX
. Какое наименьшее значение он может получить?
Ответ. 26.
Решение. Пусть
M
и
N
— середины середины рёбер
AB
и
CD
соответственно. Треугольники
ACD
и
BDC
равны по трём сторонам, поэтому равны их соответствующие медианы
AN
и
BN
. Значит, треугольник
ANB
равнобедренный и его медиана является высотой. Тогда
MN\perp AB
. Аналогично докажем, что
MN\perp CD
.
Пусть
\alpha
— плоскость
ABN
. В плоскости
\alpha
через точку
N
проведём прямую
l
, параллельную
AB
. Тогда
l\perp MN
. Отметим на прямой
l
точки
C'
и
D'
так, что
C'D'=CD
и точка
N
является серединой отрезка
'D'
(точки
A
и
D'
лежат по одну сторону относительно прямой
MN
в плоскости
\alpha
). Четырёхугольник
ABC'D'
— равнобедренная трапеция (поскольку точки
A
и
C'
симметричны относительно прямой
MN
точкам
B
и
D'
соответственно). Из тех же соображений симметрии отрезки
BC'
и
AD'
пересекаются на отрезке
MN
в некоторой точке
X'
. Покажем, что
X'
и есть искомая точка
X
из условия.
Треугольники
X'NC
и
X'NC'
равны, так как
\angle X'NC=90^{\circ}=\angle X'NC',~CN=\frac{1}{2}CD=C'N,

а сторона
X'N
— общая. Значит,
X'C=X'C'
. Аналогично,
X'D=X'D'
. Таким образом,
AX'+BX'+CX'+DX'=(AX'+D'X')+(BX'+C'X')=AD'+BC'.

Пусть теперь
X
— произвольная точка в тетраэдре
ABCXD
. Обозначим
X_{0}
— основание перпендикуляра из точки
X
на плоскость
\alpha
, а
P
— основание перпендикуляра из точки
X
на прямую
MN
. Тогда
AX\geqslant AX_{0}~\mbox{и}~BX\geqslant BX_{0}~\Rightarrow~AX+BX\geqslant AX_{0}+BX_{0}.

Точки
A
,
B
,
X_{0}
,
P
лежат в одной плоскости,
X_{0}P\perp MN
по теореме о трёх перпендикулярах,
AB\parallel X_{0}P
и точка
P
лежит на серединном перпендикуляре к
AB
. Пусть
B'
— точка, симметричную точке
B
относительно прямой
X_{0}P
. Тогда точки
A
,
P
,
B'
лежат на одной прямой, причём
AP+BP=AP+B'P=AB'.

По неравенству треугольника
AX_{0}+BX_{0}=AX_{0}+B'X_{0}\geqslant AB'~\Rightarrow~AX+BX\geqslant AX_{0}+BX_{0}\geqslant AP+BP.

Аналогично,
CX+DX\geqslant CP+DP=C'P+D'P.

Итак,
AX+BX+CX+DX\geqslant(AP+D'P)+(BP+C'P)\geqslant AD'+BC'=AX'+BX'+CX'+DX'.

Значит,
X'
— искомая точка, и осталось найти значение выражения
AX'+BX'+CX'+DX'=AD'+BC'.

Из соображений симметрии
AD'=BC'
.
По теореме Пифагора
AD'^{2}=\left(\frac{AB+CD}{2}\right)^{2}+NM^{2}=11^{2}+NM^{2}=121+NM^{2},

121+NM^{2}=121+BN^{2}-\left(\frac{1}{2}AB\right)^{2}=121+BN^{2}-20{,}25=100{,}75+BN^{2}.

Отрезок
BN
— является медианой треугольника
BCD
. По формуле для медианы (см. задачу 4014), получаем
AD'^{2}=100{,}75+BN^{2}=100{,}75+\frac{1}{2}BC^{2}+\frac{1}{2}CD^{2}=

=100{,}75+50+60{,}5-42{,}25=169.

Следовательно,
AD'=13
, и наименьшее значение суммы
AX+BX+CX+DX
равно 26.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2024-2025, декабрь 2025, муниципальный этап, задача 8, 11 класс