15302. Дан тетраэдр ABCD
. Известно, что AD=BC=10
, AC=BD=11
, AB=9
и CD=13
. Борис выбирает точку X
внутри тетраэдра и считает сумму AX+BX+CX+DX
. Какое наименьшее значение он может получить?
Ответ. 26.
Решение. Пусть M
и N
— середины середины рёбер AB
и CD
соответственно. Треугольники ACD
и BDC
равны по трём сторонам, поэтому равны их соответствующие медианы AN
и BN
. Значит, треугольник ANB
равнобедренный и его медиана является высотой. Тогда MN\perp AB
. Аналогично докажем, что MN\perp CD
.
Пусть \alpha
— плоскость ABN
. В плоскости \alpha
через точку N
проведём прямую l
, параллельную AB
. Тогда l\perp MN
. Отметим на прямой l
точки C'
и D'
так, что C'D'=CD
и точка N
является серединой отрезка 'D'
(точки A
и D'
лежат по одну сторону относительно прямой MN
в плоскости \alpha
). Четырёхугольник ABC'D'
— равнобедренная трапеция (поскольку точки A
и C'
симметричны относительно прямой MN
точкам B
и D'
соответственно). Из тех же соображений симметрии отрезки BC'
и AD'
пересекаются на отрезке MN
в некоторой точке X'
. Покажем, что X'
и есть искомая точка X
из условия.
Треугольники X'NC
и X'NC'
равны, так как
\angle X'NC=90^{\circ}=\angle X'NC',~CN=\frac{1}{2}CD=C'N,
а сторона X'N
— общая. Значит, X'C=X'C'
. Аналогично, X'D=X'D'
. Таким образом,
AX'+BX'+CX'+DX'=(AX'+D'X')+(BX'+C'X')=AD'+BC'.
Пусть теперь X
— произвольная точка в тетраэдре ABCXD
. Обозначим X_{0}
— основание перпендикуляра из точки X
на плоскость \alpha
, а P
— основание перпендикуляра из точки X
на прямую MN
. Тогда
AX\geqslant AX_{0}~\mbox{и}~BX\geqslant BX_{0}~\Rightarrow~AX+BX\geqslant AX_{0}+BX_{0}.
Точки A
, B
, X_{0}
, P
лежат в одной плоскости, X_{0}P\perp MN
по теореме о трёх перпендикулярах, AB\parallel X_{0}P
и точка P
лежит на серединном перпендикуляре к AB
. Пусть B'
— точка, симметричную точке B
относительно прямой X_{0}P
. Тогда точки A
, P
, B'
лежат на одной прямой, причём
AP+BP=AP+B'P=AB'.
По неравенству треугольника
AX_{0}+BX_{0}=AX_{0}+B'X_{0}\geqslant AB'~\Rightarrow~AX+BX\geqslant AX_{0}+BX_{0}\geqslant AP+BP.
Аналогично,
CX+DX\geqslant CP+DP=C'P+D'P.
Итак,
AX+BX+CX+DX\geqslant(AP+D'P)+(BP+C'P)\geqslant AD'+BC'=AX'+BX'+CX'+DX'.
Значит, X'
— искомая точка, и осталось найти значение выражения
AX'+BX'+CX'+DX'=AD'+BC'.
Из соображений симметрии AD'=BC'
.
По теореме Пифагора
AD'^{2}=\left(\frac{AB+CD}{2}\right)^{2}+NM^{2}=11^{2}+NM^{2}=121+NM^{2},
121+NM^{2}=121+BN^{2}-\left(\frac{1}{2}AB\right)^{2}=121+BN^{2}-20{,}25=100{,}75+BN^{2}.
Отрезок BN
— является медианой треугольника BCD
. По формуле для медианы (см. задачу 4014), получаем
AD'^{2}=100{,}75+BN^{2}=100{,}75+\frac{1}{2}BC^{2}+\frac{1}{2}CD^{2}=
=100{,}75+50+60{,}5-42{,}25=169.
Следовательно, AD'=13
, и наименьшее значение суммы AX+BX+CX+DX
равно 26.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2024-2025, декабрь 2025, муниципальный этап, задача 8, 11 класс