15304. Дана прямая призма
ABCA_{1}B_{1}C_{1}
. Известно, что треугольники
A_{1}BC
,
AB_{1}C
,
ABC_{1}
и
ABC
остроугольные. Докажите, что точки пересечения высот этих треугольников вместе с точкой пересечения медиан треугольника
ABC
лежат на одной сфере.
Решение. Обозначим через
M
и
H
точки пересечения медиан и высот треугольника
ABC
, а также отметим точку
T
, для которой
3\overrightarrow{MT}=\overrightarrow{AA_{1}}=\overrightarrow{BB_{1}}=\overrightarrow{CC_{1}}
.
Пусть сфера
\omega
построена на отрезке
HT
как на диаметре. Поскольку прямая
MT
перпендикулярна плоскости
ABC
, то точка
M
лежит на
\omega
. Покажем, что на сфере
\omega
лежит точка пересечения высот
H_{1}
треугольника
A_{1}BC
. Рассуждение для двух других треугольников аналогично.
Обозначим через
N
середину отрезка
BC
. Поскольку
NA=3NM
, точка
T
лежит на отрезке
A_{1}N
, в частности, она лежит в плоскости
A_{1}BC
. Пусть
AA'
— высота треугольника
ABC
. Поскольку прямая
AA_{1}
перпендикулярна плоскости
ABC
, то
\angle A_{1}AA'=90^{\circ}
, а также
A'A_{1}\perp BC
по теореме о трёх перпендикулярах, поэтому точка
H_{1}
лежит на отрезке
A_{1}A'
. Поскольку точка, симметричная точке пересечения высот
H
треугольника
ABC
относительно прямой
BC
, лежит на его описанной окружности (см. задачу 4785), то
A'H\cdot A'A=A'B\cdot A'C
. Применяя то же рассуждение для треугольника
A_{1}BC
, получаем, что
A'H_{1}\cdot A'A_{1}=A'B\cdot A'C=A'H\cdot A'A.

Следовательно, четырёхугольник
AHH_{1}A_{1}
вписанный, поэтому
\angle HH_{1}A_{1}=180^{\circ}-\angle A_{1}AH=90^{\circ}.

Кроме того,
HA'\perp BC
и
H_{1}A'\perp BC
, поэтому вновь применяя теорему о трёх перпендикулярах, мы получаем, что прямая
HH_{1}
перпендикулярна плоскости
A_{1}BC
. Значит,
\angle HH_{1}T=90^{\circ}
. Следовательно, точка
H_{1}
лежит на сфере
\omega
. Отсюда следует утверждение задачи.
Примечание. Точка
T
— общая точка пересечения медиан треугольников
A_{1}BC
,
AB_{1}C
,
ABC_{1}
.
Автор: Терёшин А. Д.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2024-2025, апрель 2025, финал, первый день, задача 2, 11 класс