15304. Дана прямая призма ABCA_{1}B_{1}C_{1}
. Известно, что треугольники A_{1}BC
, AB_{1}C
, ABC_{1}
и ABC
остроугольные. Докажите, что точки пересечения высот этих треугольников вместе с точкой пересечения медиан треугольника ABC
лежат на одной сфере.
Решение. Обозначим через M
и H
точки пересечения медиан и высот треугольника ABC
, а также отметим точку T
, для которой 3\overrightarrow{MT}=\overrightarrow{AA_{1}}=\overrightarrow{BB_{1}}=\overrightarrow{CC_{1}}
.
Пусть сфера \omega
построена на отрезке HT
как на диаметре. Поскольку прямая MT
перпендикулярна плоскости ABC
, то точка M
лежит на \omega
. Покажем, что на сфере \omega
лежит точка пересечения высот H_{1}
треугольника A_{1}BC
. Рассуждение для двух других треугольников аналогично.
Обозначим через N
середину отрезка BC
. Поскольку NA=3NM
, точка T
лежит на отрезке A_{1}N
, в частности, она лежит в плоскости A_{1}BC
. Пусть AA'
— высота треугольника ABC
. Поскольку прямая AA_{1}
перпендикулярна плоскости ABC
, то \angle A_{1}AA'=90^{\circ}
, а также A'A_{1}\perp BC
по теореме о трёх перпендикулярах, поэтому точка H_{1}
лежит на отрезке A_{1}A'
. Поскольку точка, симметричная точке пересечения высот H
треугольника ABC
относительно прямой BC
, лежит на его описанной окружности (см. задачу 4785), то A'H\cdot A'A=A'B\cdot A'C
. Применяя то же рассуждение для треугольника A_{1}BC
, получаем, что
A'H_{1}\cdot A'A_{1}=A'B\cdot A'C=A'H\cdot A'A.
Следовательно, четырёхугольник AHH_{1}A_{1}
вписанный, поэтому
\angle HH_{1}A_{1}=180^{\circ}-\angle A_{1}AH=90^{\circ}.
Кроме того, HA'\perp BC
и H_{1}A'\perp BC
, поэтому вновь применяя теорему о трёх перпендикулярах, мы получаем, что прямая HH_{1}
перпендикулярна плоскости A_{1}BC
. Значит, \angle HH_{1}T=90^{\circ}
. Следовательно, точка H_{1}
лежит на сфере \omega
. Отсюда следует утверждение задачи.
Примечание. Точка T
— общая точка пересечения медиан треугольников A_{1}BC
, AB_{1}C
, ABC_{1}
.
Автор: Терёшин А. Д.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2024-2025, апрель 2025, финал, первый день, задача 2, 11 класс