1531. Точки K
и M
расположены на сторонах AB
и BC
треугольника ABC
, причём BK:KA=1:4
, BM:MC=3:2
. Прямые MK
и AC
пересекаются в точке N
. Найдите отношение AC:CN
.
Ответ. 5:1
.
Указание. Проведите через вершину B
прямую, параллельную стороне AC
, и рассмотрите две пары подобных треугольников (или примените теорему Менелая, см. задачу 1622).
Решение. Через точку B
проведём прямую, параллельную AC
. Пусть T
— точка её пересечения с прямой MK
. Обозначим AC=a
, CN=x
.
Из подобия треугольников TBK
и NAK
(коэффициент \frac{1}{4}
) находим, что
TB=\frac{1}{4}AN=\frac{1}{4}(a+x),
а из подобия треугольников TBM
и NCM
(коэффициент \frac{3}{2}
) —
TB=\frac{3}{2}CN=\frac{3}{2}x.
Из уравнения \frac{1}{4}(a+x)=\frac{3}{2}x
находим, что x=\frac{1}{5}a
. Следовательно,
AC:CN=a:\frac{1}{5}a=5:1.