15317. В тетраэдре SABC
точки E
, F
, K
и L
— середины рёбер SA
, BC
, AC
и SB
соответственно. Известно, что EF=11
, KL=13
и AB=18
. Найдите ребро ребро SC
тетраэдра.
Ответ. 16.
Решение. Рассмотрим четырёхугольник ELFK
. Поскольку EL
— средняя линия треугольника ASB
, то EL=\frac{1}{2}AB=9
и EL\parallel AB
. Аналогично, KF=9
и KF\parallel AB
. Значит, EL=KF
и EL=KF
, поэтому ELFK
— параллелограмм. Тогда (см. задачу 4011)
EF^{2}+KL^{2}=2KE^{2}+2KF^{2}~\Rightarrow~KE^{2}=\frac{1}{2}(EF^{2}+KL^{2}-2KF^{2})=
=\frac{1}{2}(11^{2}+13^{2}-2\cdot9^{2})=64~\Rightarrow~KE=8,
а так как KE
— средняя линия треугольника CAS
, то
SC=2KE=16.
Источник: Геометрическая олимпиада им. В. А. Ясинского. — 2018, II, задача 1, 10-11 классы, с. 5