15318. Основание четырёхугольной пирамиды SABCD
— прямоугольник ABCD
со сторонами AB=1
и AD=10
. Ребро SA
пирамиды перпендикулярно плоскости основания, SA=4
. На ребре AD
найдите точку M
, для которой периметр треугольника SMC
минимален.
Ответ. AM=8
, MD=2
.
Решение. Периметр треугольника SMC
равен SM+MC+SC
, а так как SC
не зависит от положения точки M
, то периметр треугольника SMC
будет наименьшим, если наименьшей будет сумма SM+MC
.
В плоскости SAD
построим вне треугольника SAD
прямоугольник ADKL
, равный прямоугольнику ABCD
. Пусть точка M
лежит на стороне AD
. Прямоугольные Треугольники MDC
и MDK
равны по двум катетам, причём SM+MC=SM+MK
, а так как точки S
и K
фиксированы, то сумма SM+MK
будет наименьшей, если точки S
, M
и K
будут лежать на одной прямой (см. задачу 5004).
Пусть AM=x
. Тогда MD=10-x
. Треугольники SAM
и KDM
подобны, поэтому
\frac{1}{4}=\frac{SA}{DK}=\frac{x}{10-x}~\Rightarrow~x=8.
Следовательно, AM=8
и MD=2
.
Источник: Геометрическая олимпиада им. В. А. Ясинского. — 2018, II, задача 1, 10-11 классы, с. 5