1552. В треугольник вписана окружность. Точки касания соединены с противоположными вершинами треугольника. Докажите, что полученные отрезки пересекаются в одной точке (точка Жергона).
Указание. Докажите, что два из этих отрезков делят третий в одном и том же отношении (или воспользуйтесь теоремой Чевы, см. задачу 1621).
Решение. Первый способ. Пусть M
, N
и K
— точки касания вписанной в треугольник ABC
окружности со сторонами BC
, AB
и AC
соответственно. Обозначим BM=BN=x
, AN=AK=y
, CM=CK=z
.
Проведём через точку A
прямую, параллельную стороне BC
и продолжим отрезок CN
до пересечения с этой прямой в точке T
. Из подобия треугольников ANT
и BNC
следует, что \frac{AT}{BC}=\frac{AN}{NB}
. Поэтому
AT=AN\cdot\frac{BC}{NB}=\frac{y(x+z)}{x}.
Пусть P
— точка пересечения AM
и CN
. Из подобия треугольников APT
и MPC
следует, что
\frac{AP}{PM}=\frac{AT}{CM}=\frac{y(x+z)}{xz}.
Аналогично докажем, что если Q
— точка пересечения AM
и BK
, то
\frac{AQ}{QM}=\frac{y(x+z)}{xz}.
Следовательно, точки P
и Q
совпадают.
Второй способ. Пусть M
, N
и K
— точки касания вписанной в треугольник ABC
окружности со сторонами BC
, AB
и AC
соответственно. Обозначим BM=BN=x
, AN=AK=y
, CM=CK=z
. Тогда
\frac{AN}{NB}\cdot\frac{BM}{MC}\cdot\frac{CK}{AK}=\frac{y}{x}\cdot\frac{x}{z}\cdot\frac{z}{y}=1.
Следовательно, по теореме Чевы (см. задачу 1621) отрезки AM
, CN
и BK
пересекаются в одной точке.