1595. В треугольнике ABC
проведены высоты AD
и CE
. Найдите AC
, если BC=a
, AB=b
, \frac{DE}{AC}=k
.
Ответ. \sqrt{a^{2}+b^{2}\pm2abk}
.
Указание. Треугольники EDB
и CBA
подобны (см. задачу 19). Рассмотрите два случая: \angle B\lt90^{\circ}
и \angle B\gt90^{\circ}
.
Решение. Обозначим \angle ABC=\alpha
. Если \alpha\lt90^{\circ}
, то треугольники EDB
и CAB
подобны с коэффициентом \cos\alpha
(см. задачу 19), т. е. \cos\alpha=\frac{DE}{AC}=k
. Тогда по теореме косинусов
AC^{2}=BA^{2}+BC^{2}-2BA\cdot BC\cdot\cos\alpha=b^{2}+a^{2}-2abk.
Если \alpha\gt90^{\circ}
, то треугольники EDB
и CBA
подобны с коэффициентом (-\cos\alpha)
, т. е. -\cos\alpha=\frac{DE}{AC}=k
. Тогда
AC^{2}=a^{2}+b^{2}+2abk.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1970, № 3, билет 5
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 70-3-5, с. 140
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2010. Математика. Задача C4. Геометрия. Планиметрия. — М.: МЦНМО, 2010. — № 15.7, с. 122