16005. Постройте треугольник
ABC
по стороне
AC=b
и радиусу
R
описанной окружности, если известно, что прямая, проходящая через центры описанной и вписанной окружностей этого треугольника, параллельна стороне
BC
.
Указание. Примените формулу Карно (см. задачу 3257).
Решение. Предположим, что треугольник
ABC
, удовлетворяющий условию, построен. Обозначим углы, противолежащие сторонам
BC
,
CA
и
AB
через
\alpha
,
\beta
и
\gamma
соответственно. Пусть
O
и
I
— центры описанной и вписанной окружностей соответственно,
D
и
E
— проекции точек соответственно
O
и
I
на прямую
BC
,
IE=r
— радиус вписанной окружности.
По формуле Карно (см. задачу 3257) алгебраическая сумма расстояний от центра описанной окружности до сторон треугольника равна сумме радиусов описанной и вписанной окружностей треугольника, т. е.
R\cos\alpha+R\cos\beta+R\cos\gamma=R+r.

Из параллельности
OI
и
BC
следует, что
R\cos\alpha=OD=IE=r,

поэтому
\cos\beta+\cos\gamma=1.

Тогда углы
B
и
C
острые, поэтому
b\lt2R
. Значит, искомый треугольник существует, и притом только один, если данный отрезок, равный
b
, меньше удвоенного данного отрезка, равного
R
.
Рассмотрим следующее построение. С центром в произвольной точке
O
проведём окружность
\Omega
радиуса
R
. С центром в произвольной точке
A
этой окружности проведём окружность радиусом
b
. Пусть
C
— точка её пересечения с окружностью
\Omega
. Опустим перпендикуляр
OM
из точки
O
на хорду
AC
и продолжим его до пересечения с окружностью
\Omega
в точке
N
. Построим окружность
\omega
радиусом
MN
с центром
O
и проведём хорду
AB
окружности
\Omega
, касающуюся окружности
\omega
так, чтобы точка
O
лежала внутри треугольника
ABC
.
Докажем, что
ABC
— искомый треугольник. Достаточно доказать, что расстояние от центра
I
вписанной окружности треугольника
ABC
до стороны
BC
равно расстоянию
OD
до этой стороны от центра
O
окружности
\Omega
.
Пусть
E
— точка касания вписанной окружности радиуса
r
треугольника
ABC
,
I
— её центр. По формуле Карно
OP\pm OD+OM=R+r

(знак «
-
» для случая, когда
\alpha\gt90^{\circ}
), или
R\cos\alpha+R\cos\beta+R\cos\gamma=R+r,

а так как радиус окружности
\omega
равен
OP=MN=ON-OM=R-R\cos\beta,

то
(R-R\cos\beta)+R\cos\beta+R\cos\beta=R+r~\Rightarrow~IM=r=R\cos\alpha=OD.

Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1980, № 6, задача 472 (1979, с. 228), с. 196