16011. Дан треугольник со сторонами a
, b
и c
. Найдите геометрическое место его внутренних точек P
, для которых сумма квадратов расстояний до вершин треугольника равна фиксированной величине k^{2}
.
Ответ. Если |k|\gt\frac{1}{3}(a^{2}+b^{2}+c^{2})
, искомое ГМТ — окружность радиуса \frac{1}{3}\sqrt{3k^{2}-a^{2}-b^{2}-c^{2}}
с центром в точке G
пересечения медиан треугольника; если k=0
— точка G
; для остальных k
— пустое множество.
Решение. Пусть ABC
— треугольник со сторонами BC=a
, CA=b
и AB=c
, а G
— точка пересечения его медиан. Тогда
k^{2}=PA^{2}+PB^{2}+PC^{2}=\overrightarrow{PA}^{2}+\overrightarrow{PB}^{2}+\overrightarrow{PC}^{2}=
=(\overrightarrow{GA}-\overrightarrow{GP})^{2}+(\overrightarrow{GB}-\overrightarrow{GP})^{2}+(\overrightarrow{GC}-\overrightarrow{GP})^{2}=
=3\overrightarrow{GP}^{2}-2\overrightarrow{GP}(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC})+\overrightarrow{GA}^{2}+\overrightarrow{GB}^{2}+\overrightarrow{GC}^{2}.
По формуле для медианы треугольника
GA^{2}=\frac{4}{9}\cdot\frac{1}{4}(2b^{2}+2c^{2}-a^{2})=\frac{1}{9}(2b^{2}+2c^{2}-a^{2}),
GB^{2}=\frac{1}{9}(2a^{2}+2c^{2}-b^{2}),~GC^{2}=\frac{1}{9}(2a^{2}+2b^{2}-c^{2}),
а так как
\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}
(см. задачу 4501), то
k^{2}=3\overrightarrow{GP}^{2}-2\overrightarrow{GP}(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC})+\overrightarrow{GA}^{2}+\overrightarrow{GB}^{2}+\overrightarrow{GC}^{2}=
=3GP^{2}+\frac{1}{9}(2b^{2}+2c^{2}-a^{2})+\frac{1}{9}(2a^{2}+2c^{2}-b^{2})+\frac{1}{9}(2a^{2}+2b^{2}-c^{2})=
=3GP^{2}+\frac{1}{3}(a^{2}+b^{2}+c^{2}),
откуда
GP^{2}=\frac{1}{9}(3k^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2})).
Следовательно, если k^{2}\gt\frac{1}{3}(a^{2}+b^{2}+c^{2})
, искомое ГМТ — окружность радиуса
R=\frac{1}{3}\sqrt{3k^{2}-a^{2}-b^{2}-c^{2}}
с центром в точке G
; если k=0
— точка G
; если 0\ne k^{2}\lt\frac{1}{3}(a^{2}+b^{2}+c^{2})
— пустое множество
Примечание. 1. Утверждение верно для любых точек P
плоскости, не обязательно только для внутренними точек треугольника.
2. Если вместо трёх точек взять любое конечное число точек пространства, а вместо точки G
— центр масс соответствующей материальной системы точек, то получим аналогичный результат (вместо окружности получится сфера).