16019. На окружности отмечены три различные точки A
, B
и C
. Точка P
, лежащая в плоскости треугольника ABC
такова, что прямые PA
, PB
и PC
вторично пересекают окружность в точках A'
, B'
и C'
соответственно, причём A'B'=A'C'
. Найдите геометрическое место точек P
.
Ответ. Если AB=AC
, то искомое ГМТ — объединение данной окружности и серединного перпендикуляра к отрезку BC
. Если AB\ne BC
— то объединение данной окружности и окружности Аполлония отрезка BC
и отношения \frac{AB}{AC}
.
Решение. Ясно, что все точки данной окружности — часть искомого ГМТ.
Пусть точка P
не лежит на окружности. Тогда треугольники APB
и APC
подобны треугольникам соответственно B'PA'
и C'PA'
по двум углам, поэтому, учитывая, что A'B'=A'C'
получим
\frac{PB}{AB}=\frac{PA'}{B'A'}~\mbox{и}~\frac{PC}{CA}=\frac{PA'}{A'C'}~\Rightarrow~\frac{PB}{PC}=\frac{AB}{AC}.
Если AB=AC
, то последнее равенство верно тогда и только тогда, когда точка P
лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC
.
Если AB\ne AC
, то это равенство верно тогда и только тогда, когда точка P
лежит на окружности Аполлония отрезка BC
и отношения \frac{AB}{AC}
(см. задачу 2444), т. е. на окружности с диаметром MN
, где M
и N
— точки пересечения с прямой BC
биссектрис внутреннего и внешнего углов треугольника ABC
при вершине A
.
Таким образом, если AB=AC
, то искомое ГМТ — объединение данной окружности и серединного перпендикуляра к отрезку BC
, а если AB\ne BC
— то объединение данной окружности и окружности Аполлония отрезка BC
и отношения \frac{AB}{AC}
.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1984, № 9, задача 852 (1983, с. 177), с. 296