16025. Постройте треугольник по углу и отрезкам, на которые биссектриса этого угла делит противолежащую сторону.
Решение. Предположим, что нужный треугольник ABC
построен. Пусть \angle ABC=\beta
— данный угол, BD
биссектриса треугольника ABC
, а AD=p
и CD=q
— данные отрезки.
Опишем окружность около треугольника ABC
и продолжим его биссектрису BD
до пересечения с этой окружностью в точке E
. Тогда E
— середина дуги, не содержащей точки B
. Отсюда вытекает следующее построение.
На луче с началом в произвольной точке A
последовательно откладываем отрезки AD
и DC
, равные данным. На отрезке AC
как на хорде строим дугу, вмещающую угол, равный данному углу (см. задачу 2889), и дополняем её до окружности. Строим середину E
достроенной дуги и проводим луч ED
. Его пересечение с построенной окружностью есть искомая вершина B
треугольника ABC
.
Поскольку вписанные углы ABE
и CBE
, опирающиеся на равные дуги, равны, то луч BE
— биссектриса вписанного угла ABC
, а BD
— биссектриса треугольника ABC
. При этом по построению AD
и CD
— отрезки, равные данным.
Задача имеет единственное решение.