16040. Точка I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
. Прямая, проведённая через I
перпендикулярно AI
, пересекает прямую BC
в точке A'
. Аналогично определяются точки B'
и C'
. Докажите, что точки A'
, B'
и C'
лежат на одной прямой.
Решение. Докажем следующее более общее утверждение. Если P
— произвольная точка, лежащая в плоскости треугольника ABC
, прямая, проведённая через P
перпендикулярно AI
, пересекает прямую BC
в точке A'
, а B'
и C'
определены аналогично, то точки A'
, B'
и C'
лежат на одной прямой.
Доказательство. Заметим, что если, например, PB\perp PC
, то B=C'
и C=B'
. Значит, утверждение верно.
Пусть теперь никакие две из прямых PA
, PB
и PC
не перпендикулярны. Из условия задачи
\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PA'}=0,~\overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{PB'}=0,~\overrightarrow{PC}\cdot\overrightarrow{PC'}=0.
Кроме того (см. задачу 4511), существуют такие числа \lambda
, \mu
и \nu
, не равные 0 и 1, для которых верны равенства
\overrightarrow{PA'}=\lambda\overrightarrow{PB}+(1-\lambda)\overrightarrow{PC},
\overrightarrow{PB'}=\mu\overrightarrow{PC}+(1-\mu)\overrightarrow{PA},
\overrightarrow{PC'}=\nu\overrightarrow{PA}+(1-\nu)\overrightarrow{PB}.
Тогда
0=\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PA'}=\lambda\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}+(1-\lambda)\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PC},
0=\overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{PB'}=\mu\overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{PC}+(1-\mu)\overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{PA},
0=\overrightarrow{PC}\cdot\overrightarrow{PC'}=\mu\overrightarrow{PC}\cdot\overrightarrow{PA}+(1-\mu)\overrightarrow{PC}\cdot\overrightarrow{PB},
или
(\lambda-1)\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PC}=\lambda\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB},
(\mu-1)\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=\lambda\overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{PC},
(\nu-1)\overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{PC}=\nu\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PC}.
Пусть угол между векторами \overrightarrow{PB}
и \overrightarrow{PC}
равен \alpha
, угол между векторами \overrightarrow{PA}
и \overrightarrow{PC}
равен \beta
, угол между векторами \overrightarrow{PB}
и \overrightarrow{PA}
равен \gamma
. Тогда
(\lambda-1)|\overrightarrow{PA}|\cdot|\overrightarrow{PC}|\cos\beta=\lambda|\overrightarrow{PA}|\cdot|\overrightarrow{PB}|\cos\gamma,
(\mu-1)|\overrightarrow{PA}|\cdot|\overrightarrow{PB}|\cos\gamma=\mu|\overrightarrow{PB}|\cdot|\overrightarrow{PC}|\cos\alpha,
(\nu-1)|\overrightarrow{PB}|\cdot|\overrightarrow{PC}|\cos\alpha=\nu|\overrightarrow{PA}|\cdot|\overrightarrow{PC}|\cos\beta,
Учитывая, что \cos\alpha\ne0
, \cos\beta\ne0
и \cos\gamma\ne0
, после перемножения трёх последних равенств получим
\lambda\mu\nu=(\lambda-1)(\mu-1)(\nu-1).
Тогда
\frac{A'C}{A'B}\cdot\frac{B'A}{B'C}\cdot\frac{C'B}{C'A}=\frac{\lambda}{1-\lambda}\cdot\frac{\mu}{1-\mu}\cdot\frac{\nu}{1-\nu}=-1.
Следовательно, по теореме Менелая точки A'
, B'
и C'
лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1989, № 8, (1988, с. 175), с. 240