16041. Окружности \Gamma_{1}
и \Gamma_{2}
с центрами O_{1}
и O_{2}
соответственно и различными радиусами касаются внешним образом в точке A
. Внутри одной из них взята точка M
, не лежащая на линии центров O_{1}O_{2}
. Докажите, что существует прямая l
, пересекающая окружности \Gamma_{1}
и \Gamma_{2}
в точках B_{1}
и B_{2}
соответственно, для которой описанная окружность треугольника ABB_{1}
касается прямой O_{1}O_{2}
.
Решение. Пусть прямая OO_{1}
вторично пересекает окружность \Gamma_{2}
в точке A'
. Через точки O_{2}
и A'
проведём прямые, параллельные O_{1}M
и AM
соответственно (см. рис.). Пусть эти прямые пересекаются в точке N
. Докажем, что в качестве l
можно взять прямую MN
. Заметим, что прямая проходит через внешний центр гомотетии данных окружностей.
Пусть B_{1}
и B_{2}
— ближайшие точки пересечения прямой MN
с окружностями \Gamma_{1}
и \Gamma_{2}
соответственно, B_{2}'
— вторая точка пересечения прямой MN
с окружностью \Gamma_{2}
. Пусть
\gamma=\angle MB_{1}O_{1}=\angle B_{2}B_{2}'O_{2}=\angle B_{2}'B_{2}O_{2},
\theta=\angle O_{1}AB_{1}=\angle O_{1}B_{1}A=\angle O_{2}B_{2}'A'=\angle O_{2}A'B_{2}',
\varphi=\angle O_{2}AB_{2}=\angle O_{2}B_{2}A.
Тогда
\angle AO_{2}B_{2}+\angle B_{2}O_{2}B_{2}'+\angle B_{2}'O_{2}+A'=180^{\circ},
поэтому
\gamma+\theta+\varphi=180^{\circ}.
Значит,
\angle AB_{1}B_{1}=\varphi=\angle O_{2}AB_{3}~\mbox{и}~\angle AB_{2}B_{1}=\theta=\angle O_{1}AB_{1}.
Следовательно (см. задачу 144), прямая O_{1}O_{2}
— касательная к описанной окружности треугольника AB_{1}B_{2}
. Что и требовалось доказать.
Источник: Болгарские математические олимпиады. —
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1990, № 5, задача B-1 (1981, с. 249), с. 135