16048. Дана окружность \Gamma_{1}
с центром O_{1}
и прямая l
, проходящая через O_{1}
. Рассмотрим все окружности \Gamma_{2}
, проходящие через точку O_{1}
и пересекающие окружность \Gamma_{1}
в двух точках. Найдите геометрическое место точек касания с окружностью \Gamma_{2}
общих касательных окружностей \Gamma_{1}
и \Gamma_{2}
.
Ответ. Две прямые, касающиеся окружности \Gamma_{1}
в точках её пересечения с прямой l
.
Решение. Пусть AB
— диаметр окружности \Gamma_{1}
, лежащий на прямой l
. Докажем, что искомое ГМТ состоит из касательных к окружности \Gamma_{1}
, одна из которых проходит через точку A
, а вторая — через точку B
.
Пусть касательная к \Gamma_{1}
в точке A
пересекает окружность \Gamma_{2}
в точке T_{2}
, а прямая, проведённая через точку T_{2}
, касается окружности \Gamma_{1}
в точке T_{1}
. Докажем, что прямая T_{1}T_{2}
— касательная к окружности \Gamma_{2}
. Для этого проведём через точку T_{2}
прямую, параллельную O_{1}T_{1}
. Пусть она пересекает прямую l
в точке O_{2}
. Тогда
\angle O_{2}O_{1}T_{2}=\angle T_{1}O_{1}T_{2}=\angle O_{1}T_{2}O_{2},
поэтому треугольник O_{1}O_{2}T_{2}
равнобедренный, O_{2}O_{1}=O_{2}T_{2}
. Точка O_{2}
, лежащая на диаметре окружности \Gamma_{2}
, равноудалена от концов хорды O_{1}T_{2}
, значит, O_{2}
— центр окружности \Gamma_{2}
, а так как O_{2}T_{2}\parallel O_{1}T_{1}
, то O_{2}T_{2}\perp T_{2}T_{1}
. Следовательно, T_{1}T_{2}
— касательная к окружности \Gamma_{2}
(см. задачу 1735). Что и требовалось доказать.
Таким образом, каждая точка касательной к \Gamma_{1}
, проведённой в точке A
, есть точка касания с \Gamma_{2}
общей касательной окружностей \Gamma_{1}
и \Gamma_{2}
.
Обратно, пусть T_{1}T_{2}
— общая касательная окружностей \Gamma_{1}
и \Gamma_{2}
, а O_{2}
— центр окружности \Gamma_{2}
. Тогда O_{2}T_{2}\parallel O_{1}T_{1}
, поэтому \angle O_{1}T_{2}O_{2}=\angle T_{1}O_{1}T_{2}
, а так как O_{1}A=O_{1}T
, то треугольник O_{1}AT_{2}
равен прямоугольному треугольнику O_{1}T_{1}T_{2}
. Значит, \angle O_{1}AT_{2}=90^{\circ}
. Следовательно, точка T_{2}
лежит на касательной к окружности \Gamma_{1}
, проведённой в точке A
.
Аналогично для касательной к \Gamma_{1}
, проведённой в точке B
.