16054. Докажите, что сумма радиусов вписанной и описанной окружностей остроугольного треугольника меньше средней по величине стороны треугольника.
Решение. Пусть r
и R
— радиусы соответственно вписанной и описанной окружностей остроугольного треугольника ABC
со сторонами BC=a
, CA=b
и AB=c
(c\leqslant b\leqslant a
); L
, M
и N
— проекции центра описанной окружности на стороны BC
, CA
и AB
соответственно; CH
— высота треугольника ABC
.
Тогда по формуле Карно (см. задачу 3257)
R+r=OL+OM+ON.
Записав двумя способами удвоенную площадь треугольника ABC
, получим
c\cdot CH=a\cdot OL+b\cdot OM+c\cdot ON\geqslant c(OL+OM+ON),
откуда
CH\geqslant OL+OM+ON,
а так как треугольник остроугольный, то b=AC\gt CH
. Следовательно,
b\gt CH\geqslant OL+OM+ON=R+r.
Что и требовалось доказать.
Источник: Австрийские математические олимпиады. — 1991, № 1, задача 1488, с. 26