16068. Докажите, что если r_{a}
, r_{b}
и r_{c}
— радиусы вневписанных окружностей треугольника со сторонами a
, b
, c
и полупериметром p
, то
\sqrt{p}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\leqslant\sqrt{2}(r_{a}+r_{b}+r_{c}).
Решение. Поскольку
2p\sqrt{3}=(a+b+c)\sqrt{3}\leqslant2(r_{a}+r_{b}+r_{c})
(см. задачу 4886), то достаточно доказать неравенство
\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\leqslant\sqrt{6p},
или равносильное ему неравенство
(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^{2}\leqslant6p=3(a+b+c),
или
\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}\leqslant a+b+c.
Сложив очевидные неравенства
2\sqrt{ab}\leqslant a+b,~2\sqrt{ac}\leqslant a+c,~2\sqrt{bc}\leqslant b+c,
после деления на два получим требуемое.