4886. Радиусы вневписанных окружностей треугольника с полупериметром p
равны r_{a}
, r_{b}
, r_{c}
. Докажите, что
r_{a}+r_{b}+r_{c}\geqslant p\sqrt{3}.
Указание. Примените равенство
r_{a}r_{b}+r_{a}r_{c}+r_{b}r_{c}=p^{2}
(см. задачу 3244).
Решение. Первый способ. Сложив неравенства
\frac{r_{a}^{2}+r_{b}^{2}}{2}\geqslant r_{a}r_{b},~\frac{r_{a}^{2}+r_{c}^{2}}{2}\geqslant r_{a}r_{c},~\frac{r_{b}^{2}+r_{c}^{2}}{2}\geqslant r_{b}r_{c},
получим, что
r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}\geqslant r_{a}r_{b}+r_{a}r_{c}+r_{b}r_{c}.
Поэтому
(r_{a}+r_{b}+r_{c})^{2}=r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}+2(r_{a}r_{b}+r_{a}r_{c}+r_{b}r_{c})\geqslant3(r_{a}r_{b}+r_{a}r_{c}+r_{b}r_{c})=3p^{2}
(см. задачу 3244). Следовательно,
r_{a}+r_{b}+r_{c}\geqslant p\sqrt{3}.
Второй способ. Применив формулы
a=\frac{r_{a}(r_{b}+r_{c})}{\sqrt{r_{a}r_{b}+r_{a}r_{c}+r_{b}r_{c}}},~b=\frac{r_{b}(r_{a}+r_{c})}{\sqrt{r_{a}r_{b}+r_{a}r_{c}+r_{b}r_{c}}},~c=\frac{r_{c}(r_{a}+r_{b})}{\sqrt{r_{a}r_{b}+r_{a}r_{c}+r_{b}r_{c}}}.
(см. задачу 11159), получим, что
r_{a}+r_{b}+r_{c}\geqslant p\sqrt{3}~\Leftrightarrow~r_{a}+r_{b}+r_{c}\geqslant\frac{\sqrt{3}}{2}(a+b+c)~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~2(r_{a}+r_{b}+r_{c})\geqslant\sqrt{3}\left(\frac{r_{a}(r_{b}+r_{c})}{\sqrt{r_{a}r_{b}+r_{a}r_{c}+r_{b}r_{c}}}+\frac{r_{b}(r_{a}+r_{c})}{\sqrt{r_{a}r_{b}+r_{a}r_{c}+r_{b}r_{c}}}+\frac{r_{c}(r_{a}+r_{b})}{\sqrt{r_{a}r_{b}+r_{a}r_{c}+r_{b}r_{c}}}\right)~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~2(r_{a}+r_{b}+r_{c})\geqslant\frac{2\sqrt{3}(r_{a}r_{b}+r_{a}r_{c}+r_{b}r_{c})}{\sqrt{r_{a}r_{b}+r_{a}r_{c}+r_{b}r_{c}}}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~(r_{a}+r_{b}+r_{c})^{2}\geqslant3(r_{a}r_{b}+r_{a}r_{c}+r_{b}r_{c})~\Leftrightarrow~r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}\geqslant r_{a}r_{b}+r_{a}r_{c}+r_{b}r_{c}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~2r_{a}^{2}+2r_{b}^{2}+2r_{c}^{2}\geqslant2r_{a}r_{b}+2r_{a}r_{c}+2r_{b}r_{c}~\Leftrightarrow~(r_{a}-r_{b})^{2}+(r_{a}-r_{c})^{2}+(r_{b}-r_{c})^{2}\geqslant0.
Источник: Готман Э. Г., Скопец З. А. Решение геометрических задач аналитическим методом: Пособие для учащихся 9—10 кл. — М.: Просвещение, 1979. — № 182(2), с. 32